מרחב מכפלה

מרחב מכפלה נבנה ממספר מרחבים על ידי לקיחת המכפלה הקרטזית שלהם יחד עם "טופולוגיית המכפלה". טופולוגיית המכפלה היא הטופולוגיה הקטנה ביותר שעבורה כל פונקציות ההטלה על הרכיבים הן רציפות. ההטלה (פונקציה שמוציאה את הרכיב ה-n של נקודה במכפלה) מסומנת p_n.

כתת-בסיס לטופולוגיה אפשר לתאר באמצעות קבוצות גליליות: קבוצה פתוחה ב-coordinate מסוים וכולה בשאר הרכיבים. הבסיס מתקבל על ידי חיתוכים סופיים של קבוצות כאלה. כאשר המכפלה היא סופית, ההגדרה הזו מתיישבת עם ההגדרה ה"נאיבית": תת-הבסיס הוא קבוצות גליליות. שימו לב: גם אם ההטלה של קבוצה לכל רכיב היא פתוחה, זה לא תמיד אומר שהקבוצה פתוחה במכפלה.

ההטלות הן העתקות פתוחות כלומר, תמונת קבוצה פתוחה בהטלה היא קבוצה פתוחה ברכיב המתאים. הן לא בהכרח סגורות. דוגמה נגדית פשוטה היא גרף העקומה y=1/x ב-
R^2 (למעט x=0): הגרף סגור במישור, אך ההטלות שלו על הצירים אינן סגורות כי הן מפספסות את 0.

אם יש מרחב Y ופונקציות רציפות f_i מ-Y ל-X_i לכל רכיב, אז קיימת העתקה רציפה יחידה f מ-Y למכפלה כך שלכל i מתקיים f_i = p_i ∘ f. זו תכונה המתארת את מכפלת המרחבים באופן קטגורי.

אומרים שתכונה נשמרת תחת מכפלה אם מכפלה של מרחבים המקיימים אותה גם מקיימת אותה. אקסיומות ההפרדה (כמו T0, T1, T2/האוסדור) נשמרות בדרך כלל תחת מכפלה. יחד עם זאת, נורמליות אינה נשמרת בהכרח.

משפט טיכונוף אומר שמכפלה כלשהי של מרחבים קומפקטיים היא קומפקטית. לעומת זאת, קומפקטיות מקומית (תכונה שונה) לא תמיד נשמרת תחת מכפלה.

קשירות וקשירות מסילתית (path-connectedness) נשמרות תחת מכפלה: אם כל מרחב X_n קשיר, גם המכפלה תהיה קשירה.

קיימת גם טופולוגיה נוספת על המכפלה הנקראת טופולוגיית התיבות. בסיס שלה הוא כל מכפלה של קבוצות פתוחות בכל הרכיבים. טופולוגיה זו עדינה יותר (יש לה יותר קבוצות פתוחות) ומקובלת פחות. חלק מהמשפטים שמתקיימים עבור טופולוגיית המכפלה, למשל משפט טיכונוף או שמירה של אקסיומות הפרדה, אינם נכונים בהכרח בטופולוגיית התיבות.

מרחב מכפלה נוצר ממרחבים שונים על ידי שילוב שלהם לנקודות עם כמה רכיבים. טופולוגיית המכפלה היא אוסף הקבוצות הפתוחות שבו.

הטלה היא פונקציה שמוציאה את אחד הרכיבים של נקודה במכפלה. קבוצת גלילית היא קבוצה שפתוחה ברכיב אחד וכוללת את כל הרכיבים האחרים.

הבסיס לטופולוגיה מקבלים מחיתוכים סופיים של קבוצות גליליות. אם יש רק כמה מרחבים, ההגדרה רגילה ופשוטה.

ההטלות הן פתוחות. הן לא תמיד סגורות. דוגמה: העקומה y שווה 1 חלקי x (למעט x=0) סגורה במישור, אך הצל שלה על ציר ה-x חוזרת כל המספרים חוץ מאפס. לכן היא לא סגורה.

אם יש מרחב Y ופונקציות רציפות אל כל הרכיבים, אז קיימת וריאציה אחת רציפה מ-Y אל המכפלה שמתאימה להן.

משפט טיכונוף אומר: אם כל מרחב במכפלה קומפקטי (כלומר "קטן" במובן טופולוגי), אז המכפלה כולה תהיה קומפקטית. אבל קומפקטיות מקומית לא תמיד נשמרת.

אם כל מרחב במכפלה קשור (אי אפשר לחלקו לשני חלקים נפרדים), אז המכפלה תהיה קשורה גם כן.

יש טופולוגיה אחרת שנקראת טופולוגיית התיבות. היא מחייבת שפתוחות יהיו מכפלות של פתוחות בכל הרכיבים. הטופולוגיה הזו דקה יותר ויש בה יותר קבוצות פתוחות. חלק מהמשפטים החשובים אינם תקפים בה.