משפט הקומפקטיות
משפט הקומפקטיות אומר שאם כל קבוצה קטנה של משפטים מתקיימת, גם כל הקבוצה כולה יכולה להתקיים. מודל הוא מקום שבו המשפטים נכונים.\n\n= הוכחות למשפט =\nיש כמה דרכים להוכיח את המשפט. אחת מהן משתמשת במשפט השלמות של גדל. המשפט הזה מחבר בין "אין סתירה" לבין "יש מודל". דרך אחרת היא טופולוגית. שם מסתכלים על מרח...
מרחב קומפקטי מקומית
מרחב קומפקטי מקומית אומר שלכל נקודה יש סביבת קומפקטית. (קומפקטי = אפשר לכסות את הכל עם מספר קטן של חלקים פתוחים.) זה שונה מלהיות קומפקטי לכלל המרחב. אפשר לחלק מרחב לחלקים שכל אחד מהם קומפקטי. בחלק מהמקרים, אם אפשר להפריד נקודות היטב (אוסדורף), מספיק לבדוק שסגור של קבוצות קטנות הוא קומפקטי. הישר המ...
משפט טיכונוף
משפט טיכונוב אומר: אם כל אחד מהמרחבים בקבוצה הוא קומפקטי, אז גם המרחב שמורכב מהם יחד (המכפלה) קומפקטי. קומפקטיות פירושה: כל כיסוי של המרחב על ידי קבוצות פתוחות ניתן לכסות בעזרת מספר סופי מהן (כלומר לא צריך אינסוף קבוצות). טיכונוב הוכיח את זה בתחילת המאה ה־20. אחת ההוכחות מסתכלת על קבוצות פתוחות שמ...
אקסיומות המנייה
אקסיומות המנייה מדברות על כמה קבוצות יש במרחב טופולוגי. אם הקבוצות האלה אפשר לספור אותן, אומרים שהן בנות מנייה. מרחב טופולוגי הוא מקום עם קבוצות שנקראות פתוחות. בסיס הוא אוסף קטן של קבוצות פתוחות. כל קבוצה פתוחה נבנית מאיחוד של קבוצות מהבסיס. בסיס מקומי הוא אוסף כזה סביב נקודה מסוימת. אקסיומת המני...
משפט היינה-בורל
משפט היינה-בורל אומר בקצרה: בקבוצות של המספרים הממשיים ובמרחבים האוקלידיים R^n, קבוצה קומפקטית אם ורק אם היא סגורה וחסומה. סגורה = כוללת את נקודות הגבול שלה. חסומה = לא מתרחקת לאינסוף. קומפקטית כאן אומרת שכל כיסוי פתוח שלה אפשר לצמצם לתקציר קטן, כלומר למצוא תת-כיסוי סופי. כיסוי פתוח זה אוסף של קבוצו...
מרחב מכפלה
מרחב מכפלה נוצר ממרחבים שונים על ידי שילוב שלהם לנקודות עם כמה רכיבים. טופולוגיית המכפלה היא אוסף הקבוצות הפתוחות שבו. הטלה היא פונקציה שמוציאה את אחד הרכיבים של נקודה במכפלה. קבוצת גלילית היא קבוצה שפתוחה ברכיב אחד וכוללת את כל הרכיבים האחרים. הבסיס לטופולוגיה מקבלים מחיתוכים סופיים של קבוצות גלי...
טופולוגיה
טופולוגיה היא ענף במתמטיקה שעוסק בצורות ובאופן שבו הן מחוברות. היא בוחנת מה נשאר כשהצורה נמתחת או מכווצת, אבל לא נחתכת או מודבקת. האיש הראשון שכתב על רעיון טופולוגי היה לאונרד אוילר. הוא הראה ב-1736 שלא אפשר לעבור בכל שבעת גשרי העיר קניגסברג פעם אחת בלי לחזור. אחרי זה מדענים כמו יוהאן ליסטינג ואנר...
קבוצה קומפקטית
קבוצה קומפקטית היא קבוצה שאפשר "לכסות" בכמה פתוחות ואז לבחור מעט מהן שעדיין מכסות. כיסוי פתוח זה אוסף של קבוצות פתוחות שאיחודן כולל את כל הנקודות. תת-כיסוי הוא כמה קבוצות מהכיסוי הזה שמכסות גם כן. חוקרים למדו את הרעיון הזה לפני מאה שנים. דוגמאות חשובות עזרו להבין את המושג. אם מכל כיסוי פתוח אפשר ל...
סריג (גאומטריה)
סריג הוא דפוס שחוזר על עצמו שוב ושוב עד אין־סוף. הזזה בכיוון מתאים תשאיר את הסריג בדיוק כמו קודם. נקודות החיבור של משבצות על דף הן סריג. גם מרכזי תפוזים בערימה יוצרים דפוס שחוזר. אפשר לבנות סריג כך: בוחרים כמה כיוונים (כמו חצים), ואז עושים צעד שלם בכל אחד מהם שוב ושוב. הקבוצה שנוצרת היא סריג. יש י...
משפט הקטגוריה של בר
משפט בר אומר שמשתתף חשוב בטופולוגיה. הוא אומר: במקומות מסוימים, קבוצת "הרבה חלקים קטנים" לא יכולה להכיל אזור פתוח. "קבוצה מקטגוריה ראשונה" זה אומר שקבוצה היא איחוד של הרבה קבוצות קטנות. "דליל" אומר שהקבוצה לא תופסת אזור פתוח אפילו אחרי שסוגרים אותה. דוגמה: המספרים הרציונליים מחולקים להרבה נקודות, ו...
טופולוגיה טריוויאלית
טופולוגיה טריוויאלית (דרך להחליט מה פתוח) אומרת: רק שתי קבוצות פתוחות. אלה הן הקבוצה הריקה ו־X. זו הטופולוגיה החלשה ביותר. ההפך ממנה הוא הטופולוגיה הדיסקרטית, שבה כל קבוצה פתוחה. כל תת־קבוצה כאן קומפקטית. קומפקטי (אפשר לכסות אותה בכמה אזורים בודדים). כל פונקציה אל המרחב הזה היא רציפה. רציפה (לא קו...
תכונת החיתוך הסופי
אוסף קבוצות יש לו את תכונת החיתוך הסופי אם בכל תת-אוסף סופי יש נקודה משותפת. חיתוך = הנקודות שמופיעות בכל הקבוצות. לדוגמה, יש משפחה של קטעים שמתקצרים כל פעם. לכל תת-אוסף סופי יש נקודה משותפת, אבל אין נקודה שמשותפת לכולם. קומפקטי (קומפקטיות) אומר: אם כל נקודה במרחב מכוסה על ידי רשימת קבוצות פתוחות, א...
משפטי ויירשטראס
יש שני משפטים חשובים על פונקציות רציפות (פונקציה ששינוי קטן בקלט מביא לשינוי קטן בתוצאה). הם מדברים על פונקציות המוגדרות על קטע סגור וחסום, כלומר על טווח מספרים שאפשר לסגור בשתי נקודות. המשפט הראשון: פונקציה כזאת לא יכולה לגדול בלי סוף. זאת אומרת, כל הערכים שלה נשארים בתוך גבול מסוים. המשפט השני...
פונקציה רציפה (טופולוגיה)
פונקציה רציפה בטופולוגיה היא חוק שמקשר בין שתי קבוצות של נקודות. טופולוגיה היא דרך להגיד מי קרוב למי בלי לדבר על מרחק. פונקציה היא רציפה אם כל קבוצה פתוחה בטווח לה יש מקור פתוח במקור. מקור פתוח זה קבוצה של נקודות שנשלחות לתוך הקבוצה בטווח. במילים פשוטות: אפשר לבחור סביבת מקור קטנה ש־f שולחת אותה לת...
קבוצה חסומה
קבוצה חסומה היא קבוצה שכל הנקודות שלה יושבות בתוך כדור. כדור זה הוא כל הנקודות שהמרחק מהמרכז קטן ממספר קבוע. מרחק אומר כמה רחוק שתי נקודות אחת מן השנייה. בדוגמה של קו המספרים, קבוצה חסומה יכולה להיות בתוך קטע סופי. זאת אומרת, יש מספר אחד גדול מכולם ומספר אחד קטן מכולם. אם המרחק בין כל שתי נקודות...
מרחב רגולרי
מרחב רגולרי הוא מרחב טופולוגי. מרחב טופולוגי הוא קבוצת נקודות עם רעיון של סביבות. הוא רגולרי אם כל פעם שיש נקודה מחוץ לקבוצה סגורה, אפשר למצוא שתי סביבות פתוחות שלא נוגעות זו בזו. סגורה, כלומר היא כוללת את הגבול שלה. אם בנוסף כל נקודה היא סגורה, קוראים למרחב T3. עוד דרך להגיד זאת: אם נקודה בתוך ק...
הומיאומורפיזם
הומיאומורפיזם (נקרא גם שקילות טופולוגית) הוא קשר בין שני מרחבים. זה אומר שיש פונקציה שמקשרת כל נקודה בנקודה אחרת. הפונקציה לא שוברת או חוררת את המרחב. רציפות כאן אומרת: אם קבוצה פתוחה ביעד, כל הנקודות שמראות אליה מסתדרות כקבוצה פתוחה במקור. זאת אומרת, לא קופצים פתאום נקודות. העתקה היא הומיאומו...
הישר הממשי
הישר הממשי מתאר את כל המספרים הממשיים כקו ישר. זהו קו שבו כל נקודה מייצגת מספר. אפשר לחבר מספרים על הישר ולהכפיל אותם בסקלר. מרחב וקטורי זה הוא מממד אחד, כלומר יש רק כיוון אחד על הקו. עוצמת הרצף אומרת שיש על הקו הרבה מאוד מספרים. קנטור הראה שאי אפשר לרשום את כולם אחד אחרי השני. על הישר יש מושג ש...
טופולוגיה מושרית
טופולוגיה מושרית נותנת ל-Y את אותן קבוצות פתוחות שיש ב-X. טופולוגיה = אוסף קבוצות פתוחות. תת-קבוצה = קבוצה בתוך קבוצה אחרת. כל קבוצה פתוחה ב-Y היא חיתוך של קבוצה פתוחה ב-X עם Y. זאת אומרת: לוקחים קבוצת פתוחה ב-X וחותכים אותה עם Y. המספרים הרציונליים Q מקבלים את הטופולוגיה מהישר הממשי. כך Q הופכים ...
יריעת קאלאבי-יאו
יריעות קאלאבי-יאו הן צורות מיוחדות בגאומטריה. "יריעה" כאן אומרת "צורה חלקה". הן נחשבות חשובות כי יש להן תכונה מתמטית מיוחדת. בשנת 1957 הציע מתמטיקאי בשם קאלאבי רעיון על צורות כאלה. בשנת 1977 יאו הוכיח שהוא צודק. באופן פשוט, יריעה כזו היא צורה חלקה וסגורה שיש עליה "תבנית עליונה הולומורפית". זה אומר...
משפט בולצאנו-ויירשטראס
המשפט של בולצאנו, ויירשטראס אומר: אם יש קבוצה חסומה עם אינסוף נקודות, יש נקודה קרובה להרבה מהנקודות. חסומה אומרת שהנקודות לא יכולות להתרחק מאוד. נקודת הצטברות היא נקודה שסביבתה תמיד כוללת נקודות מהקבוצה. אפשר להבין את זה כך: קח קטע שמכיל את כל הנקודות. חלק אותו לשניים. בחלק אחד חייבות להיות אינסוף ...
סביבה (מתמטיקה)
סביבה של נקודה היא קבוצה שמכילה אזור קטן סביב הנקודה. אזור קטן זה הוא קבוצה פתוחה. קבוצה פתוחה היא כזאת שלכל נקודה בה יש נקודות קרובות עוד. אם יש קבוצה N שמכילה קבוצה פתוחה שכוללת את הנקודה a, אז N היא סביבה של a. סביבה מנוקבת היא אותה סביבה בלי הנקודה עצמה. סביבה פתוחה היא סביבה שהיא גם קבוצה פתוח...
מרחב מטרי שלם
מרחב מטרי שלם הוא מרחב שבו כל סדרת קושי מתכנסת לנקודה. סדרת קושי היא סדרה שהמרחקים בין איבריה נעשים קטנים מאוד. דוגמה פשוטה: המספרים הממשיים שלמים. המספרים הרציונליים לא שלמים. יש רציונליים שמתקרבים למספר שלא רציונלי, בשם שורש 2. השלמה היא מילוי החורים במרחב. מוסיפים נקודות כדי שכל סדרה תקבל גבול...