קריטריון אייזנשטיין

קריטריון אייזנשטיין נותן דרך פשוטה להראות שפולינום עם מקדמים שלמים הוא אי פריק. פולינום (סכום של חזקות של x עם מקדמים) f(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n מקיים את התנאי אם קיים מספר ראשוני p (מספר טבעי שחלקיו רק 1 ועצמו) שעבורו כל המקדמים חוץ מהמוביל מתחלקים ב-p, אבל המקדם החופשי a_0 לא מתחלק ב-p^2.

פולינום שמקיים את התנאי אינו ניתן לפירוק מעל חוג המספרים השלמים Z. לפי למה של גאוס, הוא גם אי פריק מעל שדה המספרים הרציונליים Q.

באופן כללי יותר, עבור תחום שלמות D (טווח מתמטי בלי מחלקי אפס) קיימת גרסה דומה: אם יש אידיאל ראשוני P של D שבו כל המקדמים פרט למוביל נמצאים, ו־a_0 אינו שייך ל־P^2, אז הפולינום אי פריק מעל D. במקרה ש־D הוא תחום פירוק יחידה (UFD), המסקנה חלה גם על שדה השברים של D.

בשדה מקומי, הרחבות מסועפות לחלוטין (הרחבות שבהן יש התנהגות מיוחדת של המכפלה) מתקבלות על ידי הוספת שורש של פולינום אייזנשטיין.

קחו למשל h(x)=2+x+x^2. אין ראשוני שמחלק את מקדם x היחיד־יחסית כאן. אם נחליף x ב־x+3 נקבל h(x+3)=14+7x+x^2. כאן כל המקדמים חוץ מהמוביל מתחלקים ב־7, והמקדם החופשי 14 אינו מתחלק ב־7^2. לכן התנאי מתקיים עבור p=7.

עיקר הרעיון הוא לעבוד מודולו p: נעתיק את המקדמים לשדה Z/pZ. מאחר שכל המקדמים פרט למוביל מתחלקים ב־p, מקבלים את הפולינום cx^n שם, עם c≠0. אם היינו מצליחים לפרק את f למכפלת שני פולינומים g ו־h, גם הם היו מתאפסים למונומים מודולו p. לכן p מחלק את המקדמים החופשיים של g ו־h, ומשם p^2 היה צריך לחלק את המקדם החופשי של המכפלה. זה מנוגד להנחה שהמקדם החופשי אינו מתחלק ב־p^2, ולכן אין פירוק.

קריטריון אייזנשטיין אומר מתי פולינום עם מספרים שלמים לא ניתן לפרק. פולינום זה סכום של חזקות של x עם מספרים לידן.

התנאי: יש מספר ראשוני p (מספר שחולק רק ב־1 ובעצמו) כך ש־p מחלק את כל המקדמים חוץ מהמוביל. אבל המקדם החופשי לא מתחלק ב־p^2 (p בריבוע).

אם זה קורה, הפולינום לא נפרק לחלקים פשוטים מעל המספרים השלמים. גם מעל השברים זה נשאר לא נפרק.

הפולינום h(x)=2+x+x^2 לא נראה מתאים מיד. אבל אם מחליפים x ב־x+3 מקבלים 14+7x+x^2. כאן p=7 עובד: 7 מחלק את כל המקדמים חוץ מהמוביל, ו־14 לא מתחלק ב־49.

ממעיטים את המספרים לפי p, אז נוריד את כל המקדמים ל־Z/pZ. אחרי זה נשאר רק cx^n. אם הפולינום היה מתחלק, זה היה גורם לכך שהמקדם החופשי מתחלק ב־p^2. זו סתירה, אז אי אפשר לפרק.