ריבוע לטיני

ריבוע לטיני בגודל n הוא טבלה של n שורות ו-n עמודות. בכל שורה ובכל עמודה מופיעים אותם n סמלים ללא חזרות. למשל ריבוע 3x3 עם השורות 1,2,3; 2,3,1; 3,1,2 הוא ריבוע לטיני פשוט.

אם מסדרים מחדש שורות או עמודות, או מחליפים בין הסמלים, מקבלים ריבוע לטיני חדש. פעולות אלה יוצרות שקילות בין ריבועים. החבורה S_n כאן היא קבוצת כל ההחלפות של n איברים. כשסופרים ריבועים, נוח לספור מחלקות שקילות במקום כל ריבוע בנפרד.

ניתן להסתכל על הריבוע כקבוצה של משולשות (i,j,A_{ij}), שבהן i שורה, j עמודה ו-A_{ij} הערך. תפקידים אלה סימטריים, ולכן אפשר להחליף בין שורות, עמודות וסמלים. ההחלפות הללו נותנות ששה ריבועים הנקראים צמודים (conjugate).

כאשר משלבים את שתי משפחות הפעולות, החלפות שורות/עמודות/סמלים והחלפת התפקידים בין שורה, עמודה וסמל, מקבלים יחס שקילות נוסף. יחס זה מגדיר 'מינים' של ריבועים. כל מין יכול לכלול עד שש מחלקות שקילות.

אין נוסחה כללית למספר הריבועים הלטיניים בגודל n. לריבועים 'ממוינים' (שורה ועמודה ראשונות בסדר עולה) יש מספר שמתקבל בהכפלה ב-(n-1)!·n! כדי לקבל את מספר הריבועים הכולל. מספר הריבועים במחלקת שקילות מחלק את (n!)^3, ומספר מחלקות השקילות בכל מין מחלק את 6.

שאלה מעניינת היא השלמת טבלה חלקית לריבוע לטיני. אם בתאים החלקים יש חזרות בשורה או בעמודה, ההשלמה אינה אפשרית. אם יש רק כמה שורות מלאות ללא חזרות, משפט החתונה של הול (Hall) מבטיח שניתן להשלים אותן לריבוע שלם.

ריבוע לטיני סימטרי הוא כזה L_{ij}=L_{ji}. כאשר האלכסון שלו קבוע, יש קשר לפירוקים של הגרף השלם ל'התאמות מלאות' (1-factors). ריבועים עם סימטריה מלאה קשורים גם למערכות שטיינר משולשות, כאשר האלכסון הוא זהות.

שני ריבועים A ו-B הם מאונכים (אורתוגונליים) אם הזוגות (A_{ij},B_{ij}) כולם שונים. אוילר חשב שאינם קיימים בגדלים 6,10,14,... אך ב-1959 הוכיחו פארקר, בוסה ושריקאנדה שקיים זוג בגודל 10, והראו שקיימים זוגות כאלה בכל גודל פרט ל-2 ול-6. המספר המקסימלי של ריבועים המאונכים בזוגות אינו עולה על n-1. הוא שווה ל-n-1 כאשר n הוא מספר ראשוני או חזקה של מספר ראשוני. קשר זה קשור גם לקיומו של מישור פרויקטיבי סופי מסדר n.

היפרקוביה לטינית היא הכללה של הריבוע הלטיני ליותר ממד אחד. משתמשים בה בתכנון ניסויים עם יותר משתנים.

יש דוגמאות קטנות של ריבועים לטיניים עד גודל 5. לדוגמה את ריבוע 3x3 הפשוט שמיד, וריבועים גדולים יותר עד 5x5 עם דפוסים מחזוריים.

המשחק סודוקו מבוסס על ריבוע לטיני בגודל 9 עם דרישה נוספת על תת-ריבועים 3x3.

ריבוע לטיני הוא טבלה מרובעת. בכל שורה ובכל עמודה יש את אותם סימנים ללא חזרות. דוגמה קטנה: שורות 1,2,3; 2,3,1; 3,1,2.

אם מעבירים שורות או מחליפים בין המספרים, מקבלים ריבוע חדש. ריבועים שניתן להגיע אחד מהשני כך נקראים שקולים.

אפשר להחליף את התפקידים של שורה, עמודה וסמל. כך מקבלים ריבוע אחר. שישה ריבועים כאלו קשורים זה לזה.

כשמשלבים את שתי ההחלפות האלה, מקבלים קבוצה של ריבועים דומים. קבוצה כזו נקראת מין.

לפעמים נותנים רק חלק מהריבוע. אם בתאים החלקים יש חזרות, אי אפשר להשלים. אבל אם יש כמה שורות שלמות בלי חזרות, חוק מתמטי (משפט הול) אומר שאפשר להשלימן.

שני ריבועים הם מאונכים אם בכל מיקום הזוג של המספרים שונה מכל הזוגות האחרים. סודוקו קשור לרעיון הזה.

יש גם הרחבה לריבוע בתיבות רבות ממדים. משתמשים בה בתכנון ניסויים.

ריבוע 2x2 פשוט: [1 2; 2 1]. ריבוע 3x3 כמו בדוגמה למעלה. במשחק סודוקו משתמשים בריבוע לטיני של 9 על 9.