אנהליזה מתמטית מנסה לתאר את המספרים הממשיים בצורה פורמלית. המטרה היא לזהות את התכונות החשובות של הממשיים, ולבדוק אם מערכות אחרות מקיימות אותן תכונות.
המספרים הממשיים יוצרים שדה. שדה הוא מערכת שמאפשרת חיבור וכפל עם חוקים ברורים. בנוסף, יש יחס סדר בין הממשיים, כלומר אפשר להשוות גדלים. יחס זה מתואם עם פעולות השדה, ולכן הממשיים הם שדה סדור.
אבל שדה סדור לבדו לא מספיק לניתוח אנליטי. שדה רציונלי, למשל, הוא גם שדה סדור, אך בו חסרים ערכים כמו שורש של מספרים מסוימים. אלה נקראים "חורים" במערכת. כדי להיפטר מהם מוסיפים תכונה נוספת: שלמות טופולוגית, כלומר "שלמות" כמערכת metrית (מרחב עם מדד מרחק).
יש שתי דרכים להגדיר שלמות בשדה סדור. האחת היא מבחינת סדרות: כל סדרת קושי (סדרה שבה איברים הופכים להיות קרובים זה לזה) מתכנסת. השנייה היא מבחינת חסמים: כל קבוצה חסומה מלעיל יש לה חסם עליון (מספר שהוא הגבול הכי קטן האפשרי שמעל לכל הקבוצה). למונח "שדה סדור שלם" יש לכן שתי משמעויות, שאפשר להגדיר במדויק.
תכונה חשובה נוספת היא ארכימדס: אפשר להגיע לכל גודל אם צועדים מספיק צעדים באורך קבוע. עבור שדה סדור ארכימדי, שתי ההגדרות של שלמות מתלכדות.
העקרונות האלה מספיקים כדי לפתח רבים מתוך יסודות האנליזה מעל כל שדה סדור שלם. למעשה, שדה המספרים הממשיים הוא השדה הסדור הארכימדי השלם היחיד, עד כדי איזומורפיזם.
מטריקה היא פונקציה שמודדת מרחק בין נקודות. כשמגדירים מרחק בערכים שמקורם בשדה סדור (ולא רק בממשיים), קוראים לה "מטריקה מוכללת", והמרחב הוא "מרחב מטרי מוכלל". בכל שדה סדור אפשר להשתמש במרחק d(x,y)=|x-y| שמחזיר ערך בשדה עצמו.
ניתן לאמץ את ההגדרות הרגילות של סדרות מתכנסות ושל סדרות קושי גם במרחבים כאלה. כך נוצר הרעיון: שדה הוא "שלם במובן של סדרות" אם כל סדרת קושי מתכנסת. במקביל, שדה הוא "שלם במובן של חסמים" אם כל קבוצה חסומה מלעיל מקבלת חסם עליון.
משפט מרכזי: שדה סדור הוא שלם במובן של חסמים אם ורק אם הוא ארכימדי ושלם במובן של סדרות. הקטע המרכזי של ההוכחה הוא כזה: אם יש חסם עליון לכל קבוצה חסומה, אז הטבעיים לא יכולים להיות חסומים מלעיל, ומשכך השדה ארכימדי. כדי להראות שהתכונת חסמים מובילה להתכנות של סדרות, בונים מתוך סדרת קושי סדרת חסמים תחתונים של הזנבות, ולוקחים את החסם העליון שלה כגבול.
בכיוון ההפוך, אם השדה ארכימדי ושלם מבחינת סדרות, אפשר לכל קבוצה חסומה לבנות רצף של חסמים שיעקבו אחד את השני (ככל שה-1/n קטן יותר), להראות שהרצף הוא סדרת קושי, ושהגבול שלה הוא חסם עליון של הקבוצה.
המסקנה: המושגים השונים של שלמות מקושרים בכוחם, והם מגדירים את אופיו הייחודי של השדה הממשי.
המתמטיקה מנסה להסביר מה מיוחד במספרים הממשיים. רוצים לדעת אילו תכונות חשובות להם.
הממשיים הם "שדה". שדה זה מקום שמאפשר חיבור וכפל. יש גם סדר ביניהם. סדר פירושו שאפשר לומר מי גדול ומי קטן.
הרציונליים (שברים) הם גם שדה וסדור. אך בהם יש "חורים". למשל, אין בהם בהכרח שורש ריבועי למספרים מסוימים.
כדי לא להשאיר חורים מוסיפים תכונה שנקראת "שלמות". שלמות אומרת ש"אין חורים".
יש שתי דרכים לומר ש"אין חורים". הדרך הראשונה היא דרך סדרות: אם סדרה של מספרים הופכת להיות קרובה יותר ויותר, היא מתכנסת למספר.
הדרך השנייה קשורה לחסמים. חסם עליון הוא מספר שמעל לכל המספרים בקבוצה. אם כל קבוצה חסומה מקבלת חסם עליון, אומרים שהשדה שלם במובן הזה.
יש עוד תכונה שנקראת ארכימדס. היא אומרת שאפשר להגיע לכל מרחק אם חוזרים על צעד קטן פעמים רבות.
כשהשדה הוא ארכימדי, שתי הדרכים של השלמות הן אותו דבר. המספרים הממשיים הם השדה היחיד שיש בו את כל התכונות האלו.
כך אפשר לעבוד באנליזה גם בשדות אחרים שמקיימים את אותן תכונות.
תגובות גולשים