משפט השלמות של גדל
משפט השלמות הוכח על ידי קורט גדל ב‑1929. המשפט אומר שיש קשר בין אמת והוכחה. אם משפט נכון בכל מודל, אז אפשר להוכיח אותו. מודל = דרך להראות איך הדברים יכולים להיות אמיתיים. ניסוח שווה לזה: לכל תורה עקבית יש מודל. תורה עקבית = קבוצה של חוקים שאין בהם סתירות. ההוכחה של גדל גם מראה איך לבנות מודל כזה...
משפטי האי-שלמות של גדל
קורט גדל היה לוגיקן שהוכיח בשנות ה-30 שני משפטים חשובים. הם מראים שלמערכות חוקים במתמטיקה יש גבולות. מערכת אקסיומות היא קבוצה של כללים בסיסיים. אם המערכת ברורה ומכאנית, אפשר לבדוק חוקים בה בצורה מדויקת. המשפט הראשון אומר שקיימת תמיד טענה שאי אפשר להוכיח או להפריך בתוך המערכת. הגדל בנה טענה שאומ...
ריימונד סמוליאן
ריימונד סמוליאן (1919, 2017) היה מתמטיקאי ולוגיקן. לוגיקן זה אדם שחוקר חשיבה והוכחות. הוא נולד בניו יורק. כשהיה צעיר עשה קסמים. למד באוניברסיטה ושימש פרופסור. הוא קיבל תארים בשנות החמישים. סמוליאן חקר רעיונות על מה שאפשר להוכיח במתמטיקה. זו תופעה שנקראת "אי-שלמות". זה אומר שלא כל משפט מתמטי אפשר ...
פרפקציוניזם
פרפקציוניזם (רצון להיות מושלם) פירושו שאדם רוצה לעשות הכל בצורה הכי טובה. יש סוגים שונים של פרפקציוניזם. יש מי שזה עוזר לו לעשות עבודה טובה. ויש מי שזה עושה לו כיף פחות, כי הוא מפחד לטעות. פרפקציוניזם יכול לתת כוח לעבוד קשה. זה עוזר למדענים, לאמנים ולאתלטים לשים לב לפרטים. לפעמים הפרפקציוניזם ...
ל' בחשוון
התאריך הזה קיים רק בשנים שנקראות 'שלמות'. 'שלמות', סוג שנה בלוח העברי. אם השנה 'כסדרן' או 'חסרות' אז כ"ט בחשוון הופך לא' בכסלו. הלוח העברי הקבוע, הדרך הקבועה לקבוע תאריכים. קטגוריה:שנים שלמות...
שדה שברים
שדה השברים בונים מתוך חוג מיוחד שנקרא תחום שלמות. תחום שלמות הוא חוג שבו אם מכפילים שני איברים והתוצאה אפס, אז אחד מהם אפס. מורידים לכל איבר שאינו אפס את ההפכי שלו. ההפכי הוא מספר שמכפיל את האיבר ונותן אחד. כך נוצרים שברים כמו "a חלקי b". כפל שברים: מכפילים את המונים ואת המכנים. חיבור שברים: מבי...
חוג אוקלידי
חוג אוקלידי הוא חוג שבו אפשר לחלק עם שארית. חוג הוא קבוצה עם חיבור וכפל. תחום שלמות הוא חוג בלי בעיות של אפס בכפל. יש פונקציה שמודדת "גודל" של איבר. בכל חילוק a על ידי b אפשר למצוא מנה ושארית. השארית קטנה לפי המדד הזה. כך עובדים כמו בחילוק של מספרים בשלב בית הספר. דוגמה חשובה היא החוג של המספרים ה...
משפט הקומפקטיות
משפט הקומפקטיות אומר שאם כל קבוצה קטנה של משפטים מתקיימת, גם כל הקבוצה כולה יכולה להתקיים. מודל הוא מקום שבו המשפטים נכונים.\n\n= הוכחות למשפט =\nיש כמה דרכים להוכיח את המשפט. אחת מהן משתמשת במשפט השלמות של גדל. המשפט הזה מחבר בין "אין סתירה" לבין "יש מודל". דרך אחרת היא טופולוגית. שם מסתכלים על מרח...
שדה סדור שלם
המתמטיקה מנסה להסביר מה מיוחד במספרים הממשיים. רוצים לדעת אילו תכונות חשובות להם. הממשיים הם "שדה". שדה זה מקום שמאפשר חיבור וכפל. יש גם סדר ביניהם. סדר פירושו שאפשר לומר מי גדול ומי קטן. הרציונליים (שברים) הם גם שדה וסדור. אך בהם יש "חורים". למשל, אין בהם בהכרח שורש ריבועי למספרים מסוימים. כדי ...
קורט גדל
קורט גדל (1906, 1978) היה מדען מתמטי חשוב. הוא נולד בברנו ועבר לארצות הברית. גדל למד מתמטיקה ולוגיקה. לוגיקה זה חקר כללים של חשיבה נכונה. ב-1930 קיבל דוקטורט. ב-1931 הראה משהו מפתיע: יש אמירות מתמטיות שאי אפשר להוכיח ולא ניתן להפריך אותן. זאת מהפכה בלימוד המתמטיקה. בימי המלחמה הוא עבר לאמריקה וגר ב...
תנועת החרות
תנועת חרות הייתה מפלגת ימין שהוקמה ב־15 במאי 1948. מפקד הארגון הצבאי הלאומי (ארגון מחתרתי לפני המדינה) מנחם בגין הקים אותה. בגין רצה שהתנועה תפעל לפי חוקי המדינה. המפלגה דיברה הרבה על אחדות הארץ, על הבאת יהודים שנפוצו בעולם חזרה לישראל (קיבוץ גלויות), ועל צדק לחברה. רוב הזמן היא הייתה באופוזיציה, ...
עצמאות (לוגיקה מתמטית)
טענה עצמאית היא טענה שאי אפשר להוכיח ולא אפשר להפריך בעזרת החוקים של מערכת מתמטית. החוקים האלה נקראים אקסיומות. ב־1931 המתמטיקאי קורט גדל הראה שיש מערכות מתמטיות חזקות שבהן יש טענות כאלה. המשמעות היא שהמערכת לא יכולה להיות גם שלמה וגם ללא סתירות. שלמה אומרת שכל טענה מוכחת או נפרכת. ללא סתירות פירוש...
MD5
MD5 היא דרך להכין 'טביעת אצבע' קצרה לקובץ או להודעה. טביעת האצבע הזאת היא מחרוזת קבועה באורך 128 סיביות. היא עוזרת לבדוק אם משהו השתנה בקובץ. MD5 נוצרה ב-1991 על ידי רונלד ריבסט. בתחילה השתמשו בה הרבה. אחרי שנים גילו שהיא לא בטוחה. זה אומר שאנשים יכולים למצוא שני קבצים שונים עם אותה טביעת אצבע. מ...
אידיאל ראשוני
אידיאל ראשוני הוא קבוצת אלמנטים בחוג. חוג הוא מערכת של מספרים עם חיבור וכפל. אם מכפלת שני איברים נכנסה לאידיאל, אז אחד מהאיברים כבר שם. בדוגמה מוכרת, במספרים השלמים (הז), האידיאל שנוצר על ידי n הוא ראשוני אם n הוא מספר ראשוני. כל אידיאל מקסימלי תמיד ראשוני. ניתן "למקד" את החוג סביב אידיאל ראשוני P...
Sharp-P
P# (קוראים לה "שרפ-פי") היא קבוצה של בעיות שבודקות כמה פתרונות יש לבעיה. בעיות אחרות שואלות רק כן או לא. לדוגמה: האם יש מסלול שעובר בכל עיר פעם אחת? זהו שאלה של כן/לא. NP היא קבוצת שאלות שקל לבדוק להן פתרון אם מישהו מראה אותו. P# שואלת לא רק אם יש פתרון, אלא כמה קיימים. למשל, במקום לשאול אם יש מסל...
התייחסות עצמית
התייחסות עצמית היא כשמשהו מדבר על עצמו. לפעמים רעיונות מדברים על עצמם. סמל כזה הוא הדרקון הבולע את זנבו. יש משפט שאומר "המשפט הזה הוא שקר". זה יוצר בעיה שנקראת פרדוקס. פרדוקס הוא מצב שנראה סותר. דקארט אמר: "אני חושב, משמע אני קיים". המחשבה על הספק מוכיחה שיש מישהו שחושב. יש טיעון שאומר: אם אלוהי...
לולאה מוזרה
לולאה מוזרה היא מצב שבו עולה או יורד מחזיר אותך חזרה להתחלה. זה קשור להפניה עצמית. הפניה עצמית היא כשמשהו מדבר או מתייחס לעצמו. דאגלס הופשטטר קרא לזה והסביר זאת בספרים שלו 'גדל, אשר, באך' ו'אני לולאה מוזרה'. באך כתב קאנון שממשיך לעלות בחצי צעד עד שהוא חוזר להתחלה. הצייר מ. ק. אשר עשה ציורים שמר...
גדל, אשר, באך
''גדל, אשר, באך'' הוא ספר של דאגלס הופשטטר. הוא קישר בין שלושה אנשים: גדל (לוגיקן, חוקר חשיבה ולוגיקה), אשר (אמן שמצייר תמונות מוזרות) ובאך (מלחין מוזיקה). הספר יצא ב-1979. הוא זכה בפרס פוליצר ב-1980. יש תרגום לעברית מ-2011. הספר בנוי מסיפורים ודיאלוגים. שתי דמויות מרכזיות הן אכילס והצב. הם מדברים...
שתי עגלות וכדור פורח
"שתי עגלות וכדור פורח" נכתב על ידי הרב ד"ר מיכאל אברהם. זהו הספר הראשון מתוך ארבעה. השם מבוסס על שני סיפורים קצרים. בסיפור הראשון יש עגלה מלאה ועגלה ריקה. זה משמש משל על דרך חשיבה שונה. בסיפור השני, אנשים בכדור פורח שואלים אדם בשדה איפה הם. הוא עונה "בכדור פורח". אחד מהם אומר שהוא כנראה מתמטיקאי...
עקביות (לוגיקה)
עקביות אומרת שאין סתירה בתוך מערכת חוקים. אם יש סתירה, אפשר להוציא ממנה דברים לא נכונים. אקסיומות הן חוקים בסיסיים. מודל הוא מבנה שמקיים את כל החוקים האלה. אם מוצאים מודל לתורה, זו הוכחה שהיא עקבית. יש דוגמאות מהגאומטריה, שבהן הראו עקביות ביחס לגאומרת המישור האוקלידית. גדל הראה ב-1930 שלכל קבוצה ע...
פלאוגרפיה
פלאוגרפיה היא חקר איך נראית הכתיבה וכיצד היא משתנה עם הזמן. אפיגרפיה חוקרת את תוכן הכתובות והמידע ההיסטורי שיוצא מהן. כדאי לדעת: אות היא צורה מוסכמת. המשמעות היא שאנשים מסכימים איך לצייר אותה. לרוב הכתב משתנה לאט. אם מישהו מחליף כתב בכל מדינה, זה לא חלק מהפלאוגרפיה. כתב לפידארי (כתב לאבן): זהו ...
לוגיקה
לוגיקה היא חקר איך לחשוב נכון. היא בודקת מתי מסקנה נובעת מהנחות. ביוון העתיקה חשבו על טיעונים. אפלטון שאל שאלות כדי לבדוק עקביות. אריסטו ארגן שיטות לקשר בין משפטים. הוא המציא סילוגיזם ".סילוגיזם" זה טיעון עם שתי הנחות ומסקנה. אריסטו קבע כללים חשובים: # חוק אי-הסתירה: דבר לא יכול להיות נכון ושקרי ב...
תורה (לוגיקה מתמטית)
תורה בבבלוגיקה היא רשימה של כללים ושפה מתמטית. אקסיומה היא משפט שמקבלים כנכון בתוך הרשימה. משתנה חופשי הוא משתנה שלא קשור בכמותים כמו "לכל" או "קיים". לשפה עצמה אין פירוש עד שבוחרים מודל, כלומר מבנה שמתאים לסימנים. דמיינו מסעדה: P אומר "זו צלחת" ו‑A(x,y) אומר ש‑x ו‑y יושבים באותו שולחן. אז חוק יכו...
תנועת המוסר
תנועת המוסר התחילה על ידי הרב ישראל סלנטר במאה ה-19 במזרח אירופה. המטרה הייתה שעוד ילמדו איך להיות אנשים טובים. התנועה אמרה שדת היא לא רק חוקים טכניים. תורה מלמדת גם איך לנהוג טוב עם אנשים. לכן למדו גם על מידות טובות. המטרה הייתה לשמור גם על המצוות האישיות וגם על היחס לאחרים. לדוגמה: חשוב לא להכעי...
הוכחה באפס ידיעה
=מה זה? הוכחה באפס ידיעה היא דרך לשכנע מישהו שמשהו נכון מבלי לספר את הסוד. לדוגמה: להראות שיודעים סיסמה בלי לומר אותה. =רעיון פשוט עם סיפור המערה אדם יודע מילת קסם לפתיחת דלת במערה. השומר מבקש ממנו לצאת מצד ימין או שמאל בטעות. אם האדם יודע את המילה, תמיד יכול לצאת כפי שהתבקש. חזרה על הבדיקה מעלה את...
מרחב מטרי
מרחב מטרי הוא קבוצה שיש עליה דרך למדוד מרחקים. הדרך הזאת נקראת מטריקה. מטריקה אומרת כמה שתי נקודות קרובות או רחוקות. הישר הוא דוגמה פשוטה: המרחק בין מספרים מוכר לכולנו. גם המישור או המרחב סביבנו הם דוגמה. על כדור אפשר למדוד מרחק על ידי הקשת הקצרה שמחברת שתי נקודות. אפשר גם להגדיר מטריקה פשוטה: מרחק...
מספר ממשי
מספר ממשי הוא כל מספר על הישר המספרי. אפשר לראות אותו כנקודה על קו אינסופי. דוגמאות פשוטות: 3, -4, 1/3 ו‑π. π (פי) הוא מספר שאפשר להשתמש בו בעיגול; בערך הוא 3.14. ממשיים משמשים למדידת דברים רציפים. למשל טמפרטורה ומרחק. כבר אצל היוונים ראו שיש מספרים שנובעים יחס של אורכים, כמו שורש 2. מאוחר יותר במ...
אניאק
איניאק (ENIAC) היה מחשב גדול מאוד מ־1940s. מחשב = מכשיר שעושה חישובים. הוא נבנה כדי לחשב מסלולי ירי לצבא. הפרויקט התחיל ב־1943. שני מהנדסים מרכזיים היו ג'ון אקרט וג'ון מוקלי. צוות המתכנתות הראשוני כלל רק נשים שעבדו על חישובים מתמטיים. המחשב הושלם ב־1946 ועבד עד 1955. ENIAC עבד עם ספרות עשרוניות, ל...
PSPACE
PSPACE היא קבוצה של שאלות שמחשב יכול לפתור עם לא הרבה זיכרון. זיכרון פולינומי אומר: הזיכרון גדל לאט יחסית כשגודל הקלט גדל. PSPACE כוללת את כל השאלות שאפשר לפתור במחשב כשהזיכרון גדל בצורה איטית יחסית עם הקלט. יש גם מכונות לא־דטרמיניסטיות. משפט סביץ' אומר שאם אפשר לפתור שאלה בזיכרון פולינומי בדרך ...
זקנה
זקנה היא השלב האחרון בחיים. אין גיל אחד שמגדיר זאת. בישראל יש כ‑1,090,000 אנשים בגיל 65 ומעלה. חלק מהזקנים מרגישים לבד לפעמים. יש עמותות ופעילות התנדבותית שעוזרות להם. במקומות שונים אנשים חושבים על זקנה אחרת. תוחלת חיים זה כמה שנים אנשים חיים בממוצע. בישראל יש חוק שקובע פרישת גמלאות: נשים בגיל 64 ו...
מרחב בנך
מרחב בנך הוא מקום שבו עובדים עם וקטורים. יש בו דרך למדוד אורך של כל וקטור. קוראים למדידה הזו נורמה. "שלם" אומר שרצפים שמתקרבים ממש כן נקבלים למקום הזה. כדור היחידה הוא כל הווקטורים שאורכם לא גדול מ‑1. הכדור הזה קמור וסימטרי סביב 0. יש כמה משפטים חשובים: - משפט שמאפשר להאריך מדידות ליניאריות מתת...
פרדוקס השקרן
פרדוקס השקרן הוא בעיה עם משפטים שאומרים על עצמם שהם שקר. דוגמה פשוטה: "אני משקר עכשיו". אם זה נכון, אז הוא שקר. אם הוא שקר, אז הוא נכון. זו סתירה. יש סיפור עתיק על איש מכרתים שאמר "כל אנשי כרתים שקרנים". אם נאמין לו, גם הוא משקר. זה יוצר בלבול. במבחן שיש בו ארבע תשובות, התשובה הרביעית יכולה להיות ...
משפט קוק-לוין
משפט קוק-לוין אומר שבעיה בשם SAT היא אחת הקשות בקבוצה שנקראת NP. P הן בעיות שאפשר לפתור מהר. NP הן בעיות שאם נותנים פתרון, אפשר לבדוק מהר אם הוא נכון. שאלה גדולה היא האם כל בעיה שאפשר לבדוק מהר אפשר גם לפתור מהר. זוהי שאלה פתוחה. SAT היא בעיה של נוסחאות לוגיות. נוסחאות אלה כתובות עם משתנים שאפ...
מאפיין (אלגברה)
המאפיין הוא המספר הקטן n שאם מחברים את 1 עם עצמו n פעמים מקבלים 0. אם אין כזה, המאפיין הוא 0. אם המאפיין גדול מ-0, הוא מספר ראשוני. מספר ראשוני הוא מספר שחולק רק ב-1 ובעצמו. המספרים הרציונליים, הממשיים והמרוכבים יש להם מאפיין 0. שדה סופי לא יכול להיות בעל מאפיין 0. בשדה שמאפיינו p, חישוב (a+b)^p נו...
חתכי דדקינד
חתכי דדקינד הם דרך לבנות את המספרים הממשיים מהמספרים הרציונליים. ריכרד דדקינד הציע את הרעיון ב-1872. חתך מחלק את המספרים הרציונליים לשתי קבוצות A ו-B. כל מספר ב-A קטן מכל מספר ב-B. וגם ב-A אין מספר הכי גדול. לדוגמה, עבור מספר רציונלי r אפשר להפריד את אלה שקטנים מ-r ואת אלה שגדולים או שווים ל-r. ...
בעיה פתוחה
בעיה פתוחה היא שאלה במתמטיקה שאף אחד לא פתר. השערה היא רעיון שאף אחד עדיין לא הוכיח. בעיות כאלה יכולות להעסיק מתמטיקאים שנים רבות. לפעמים לוקח מאות שנים עד שימצאו פתרון. משפט פרמה נפתר אחרי כ־350 שנים על ידי אנדרו ויילס. רשימת 23 הבעיות של הילברט הוצגה ב־1900 ורוב הבעיות בה נפתרו מאוחר יותר. יש ג...
משפט החיתוך של קנטור
סדרה יורדת של קבוצות היא קבוצות אחת על השנייה. למשל A1 ⊇ A2 ⊇ A3 … . קוטר של קבוצה הוא המרחק הגדול ביותר בין שתי נקודות בה. אם יש מקום שבו מודדים מרחקים (מרחב מטרי) והוא שלם (כל סדרת קושי מתכנסת), אז: אם בנויות קבוצות סגורות ולא ריקות שכל פעם קטנות יותר, והקוטר שלהן שואף לאפס, אז יש נקודה אחת שמשות...
וילפרדו פארטו
וילפרדו פארטו נולד ב־1848 ומת ב־1923. הוא גדל באיטליה. הוא למד מתמטיקה ועבד כמהנדס. אחר כך לימד כלכלה. פארטו חקר איך נכס וכסף מתחלקים בין אנשים. הוא גילה שנוהגים לראות שלפעמים 20% מהאנשים מחזיקים ב־80% מהרכוש. זה נקרא חוק פארטו. החוק עוזר להבין אי־שוויון, איך יש אנשים עשירים יותר מאחרים. הוא גם ח...
אבטחת מידע
אבטחת מידע היא הגנה על מידע ומחשבים מפני גניבה או נזק. המטרה לשמור על סודיות, שלמות וזמינות של המידע. מחשבים הפכו נפוצים אחרי מחשב ה-IBM PC ב-1981 ואחרי האינטרנט. זה נוח, אבל גם פתח אפשרויות לאחרים לגשת למידע בלי רשות. חסיון (רק מי שצריך רואה), שלמות (המידע לא משתנה), זמינות (המידע זמין כשצריך). ...
מסלול המילטוני
מסלול המילטוני הוא דרך שעוברת בכל נקודה ברשת בדיוק פעם אחת. רשת כזו נקראת גרף. מעגל המילטוני חוזר לנקודת ההתחלה בסוף. השם בא מויליאם המילטון. הוא המציא משחק ב־1857 שבו יש למצוא מעגל כזה. חידה ידועה אחרת היא מסע הפרש בשחמט. שם פרש צריך לבקר בכל משבצת בדיוק פעם אחת. יש חוקים שמבטיחים שקיים מסלול כזה...
אקסיומה
אקסיומה היא רעיון שמקבלים כנכון בלי להוכיח. (הנחה = רעיון שמתחילים ממנו.) במתמטיקה בונים על אקסיומות. הן משמשות כנקודת מוצא להוכחות ולכללים. חשוב שהאקסיומות לא יתנו סתירה אחת לשנייה. יש מקרים שגילו שאפשר לשנות אקסיומה ולקבל גאומטריה אחרת. זה קורה עם אקסיומת המקבילים לגאומטריה. בפיזיקה אקסיומה היא ...
חתימה דיגיטלית
חתימה דיגיטלית היא דרך לבדוק מי שלח מסמך במחשב. קריפטוגרפית (שימוש בקודים) שומרת על המסמך. חתימה אומרת שהמסמך נכון ולא שינו אותו אחר כך. החותם לא יכול להכחיש בקלות שהוא חתם. חותם יוצר שני מפתחות: מפתח פרטי (מפתח סודי) ומפתח ציבורי (מפתח שכל אחד יכול לראות). משתמשים במפתח הפרטי כדי ליצור חתימה. המפ...
צליל עילי
צליל עילי (אוברטון או הרמונית) הוא צליל נוסף שנשמע יחד עם הצליל הראשי. הצליל הראשי נקרא תדירתי יסודי. תדירות זה מספר הפעמים שמשהו רוטט לשנייה. ההרמוניות הן בדרך כלל פי שניים, פי שלוש, פי ארבעה ועוד מהתדירות של היסוד. יש רבות כאלה, אך בדרך כלל שומעים במיוחד כמה הראשונות. הרמוניות עושות את "צבע" הכל...