שורש ריבועי של מספר a הוא מספר שמוכפל בעצמו נותן את a. את הפעולה קוראים הוצאת שורש ריבועי. מבחינה גאומטרית, אם a הוא שטח של ריבוע, אז אורך צלעו שווה לשורש הריבועי של a.
למספר חיובי יש שני שורשים ממשיים: אחד חיובי ואחד שלילי. למשל, ל־100 השורשים הם +10 ו־−10. כשמדברים על "ה"שורש הריבועי בדרך כלל מתכוונים לשורש החיובי, שסימונו √a. למשוואה x^2 = a יש שני פתרונות, חוץ מהמקרה a = 0 שבו יש פתרון יחיד.
למספרים ממשיים שליליים אין שורש ריבועי ממשי, כי כפל של מספר ממשי בעצמו לא נותן מספר שלילי. לכן פיתחו את מערכת המספרים המרוכבים, שבה לכל מספר יש שני שורשים ריבועיים.
הפונקציה f(x)=√x נקראת פונקציית השורש. היא מוגדרת עבור מספרים ממשיים שאינם שליליים. זו פונקציה חד־חד־ערכית (כל קלט נותן פלט ייחודי) ורציפה במקום שבו היא מוגדרת. היא גזירה (ניתן למצוא לה נגזרת) לכל מספר חיובי, אך בנקודה x=0 היא לא גזירה. כשהמשתנה שואף לאפס, הנגזרת שואפת לאינסוף, כלומר השיפוע של הגרף נהיה גדול מאוד.
פונקציית השורש שומרת על כפל וחילוק: √x·√y = √(xy) ו־√x/√y = √(x/y) עבור ערכים מתאימים שאינם שליליים. לעומת זאת, בדרך כלל לא נכון ש־√x + √y = √(x+y). השוויון יתקיים רק במקרים מיוחדים, למשל כשאחד המספרים הוא אפס.
במספרים המרוכבים יש שני שורשים לכל מספר. כיוון שאין הגדרה של "חיובי" במישור המרוכב, אי אפשר לבחור תמיד באופן טבעי את השורש החיובי. בפועל מגדירים את השורש המרוכב באמצעות החזקה המרוכבת והלוגריתם המרוכב, כלומר √z = exp(1/2 · Log z), שם Log z הוא הלוגריתם (לוגריתם מסובך עם בחירת ענף). שינוי הענף של הלוגריתם מוסיף iπ למעריך ומכפיל את השורש ב־−1.
בגלל הבעיות של הלוגריתם, פונקציית השורש במספרים המרוכבים לא רציפה בכל המישור. כתוצאה מכך נוסחאות כמו פירוק מכפלה של שורשים אינן תמיד תקפות. דוגמה ידועה: √1 = √((-1)·(-1)) אבל √(-1)·√(-1) שונה מזה, כי √(-1)·√(-1) = i·i = −1.
באמצעות נוסחת הבינום של ניוטון מקבלים טור טיילור עבור √(1+x). הטור מתחיל ב־1 + x/2 − x^2/8 + x^3/16 − 5x^4/128 + … ומתכנס בתחומים המתאימים של x.
שורש ריבועי הוא מספר שמוכפל בעצמו נותן מספר אחר. למשל, 10 מוכפל ב־10 שווה 100. לכן 10 הוא שורש ריבועי של 100.
לכל מספר חיובי יש שני שורשים. אחד גדול וחיובי ואחד שלילי. ל־100 יש את 10 ואת −10. כשכועסים אומרים רק על השורש החיובי.
מספרים שליליים בלי חלק דמיוני אין להם שורש אמיתי. כדי לפתור את זה המציאו מספרים מרוכבים. מספר מרוכב כולל גם חלק דמיוני, שהוא מבוסס על האות i.
הפונקציה שמקבלת x ומחזירה את השורש שלה נקראת פונקציית השורש. היא עובדת רק על מספרים שאינם שליליים. הגרף שלה חלק בכל מקום חוץ מאיפה ש־x שווה 0. בנקודה הזו אין שיפוע מוגדר, והשיפוע נהיה מאוד גדול כשניגשים לאפס.
השורש שומר על כפל וחילוק. כלומר שורש של מכפלה שווה מכפלת השורשים, ותיקון דומה תקף גם לחילוק. אבל בדרך כלל שורש של חיבור אינו שווה סכום השורשים.
במספרים המרוכבים כל מספר יש לו שני שורשים. כאן אי־אפשר לבחור "החורש החיובי" כי אין הגדרה של חיובי. מגדירים את השורש המרוכב בעזרת החזקה והלוגריתם של מספרים מרוכבים. בגלל זה התכונות הרגילות של השורש יכולות להתנהג אחרת במישור המרוכב.
אפשר לכתוב את השורש של 1+x כסכום של כמה איברים. זה נקרא טור טיילור, והוא נותן מקור מקרוב ל־1.
תגובות גולשים