שחלוף (מתמטיקה)

בשחלוף (Transpose) מחליפים את השורות והעמודות של מטריצה. מטריצה בגודל n×m הופכת למטריצה בגודל m×n, כך שהאיבר במקום (i,j) במטריצה המשוחלפת הוא האיבר במקום (j,i) במקור. סימונים מקובלים: A^T, A^⊤, A'.


אם A היא מטריצה מסדר n×m, אז A^T היא מטריצה מסדר m×n עם (A^T)_{ij}=(A)_{ji}. כלומר כל כניסה מתחלפת עם הנקודה ההפוכה.


השחלוף הוא אינוולוציה מדרגה 2, כלומר לחילוף כפול חוזרים אל המטריצה המקורית. הפעולה היא ליניארית: היא שומרת חיבור וכפל בסקלר (מספר). בנוסף, היא הופכת את סדר הכפל: (AB)^T = B^T A^T. לכן אם A הפיכה (כלומר יש לה מטריצה שמקירה אותה), גם A^T הפיכה ו(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T. הדטרמיננטה של A שווה לזו של A^T; מזה נגררים אותו פולינום אופייני ואותם ערכים עצמיים. כמו כן, כל מטריצה דומה למטריצת הטרנספוז שלה.


מטריצה ריבועית נקראת סימטרית אם A^T=A. היא נקראת אנטי-סימטרית אם A^T=-A. מטריצה ריבועית הפיכה נקראת אורתוגונלית אם A^{-1}=A^T, שקול ל-AA^T = A^T A = I, כאשר I היא מטריצת היחידה.

קיימת גם הצמדה הרמיטית (conjugate transpose), המסומנת A^*. היא כוללת שחלוף ושלילת מרכיבי המספרים המורכבים (הצמדה). אם A^*=A, אז A נקראת הרמיטית; במצב שכל הרכיבים ממשיים, הדבר שקול לסימטריות.


לעתקה ליניארית T:V→W יש העתקה משוכפלת T^T:W^*→V^* בין המרחבים הדואליים. היא מוגדרת על ידי (T^T g)(v)=g(T(v)). דרגת T^T שווה לדרגת T. בייצוג מטריציוני ביחס לבסיסים דואליים, המטריצה של T^T היא בדיוק הטרנספוז של המטריצה של T.

שחלוף הוא הזזה של שורות ועמודות במטריצה. מטריצה היא טבלה של מספרים. כשמשחלפים, שורה נהיית עמודה והעמודה נהיית שורה. מטריצה n×m הופכת ל-m×n. את השחלוף מסמנים בדרך כלל A^T.


A^T היא המטריצה שבה האיבר במקום (i,j) הוא האיבר שהיה במקום (j,i) במקור.


אם משחלים שתי פעמים, חוזרים למקור. זה אומר שהפעולה הפיכה על עצמה. השחלוף שומר חיבור וכפל במספרים פשוטים. גם אם מכפילים שתי מטריצות ואז משחלים, התוצאה שווה לשחלוף של כל אחת, אבל בסדר הפוך.


מטריצה נקראת סימטרית אם היא שווה לשחלופה שלה. כלומר A^T = A. יש גם מטריצות שאומרים להן אנטי-סימטריות אם A^T = -A.

מושג ההצמדה ההרמיטית (A^*) הוא שחלוף בנוסף לשינוי של מספרים מורכבים למקביל שלהם. אם A^*=A היא נקראת מטריצה הרמיטית. אם כל המספרים במטריצה הם רגילים (ממשיים), אז הרמיטית היא סימטרית.


לפעולה ליניארית T יש שחלוף T^T שמעביר פונקציות מהמרחב השני לראשון. הוא מוגדר כך: (T^T g)(v)=g(T(v)). בדרכים של טבלאות, המטריצה של T^T היא נכונה פשוט כ-A^T.