תנאי שפה

תנאי שפה (או תנאי גבול) הם נתונים שמאפשרים להפוך פתרון כללי של משוואה דיפרנציאלית לפתרון יחיד. כשמשוואה נותנת משפחה של פתרונות עם קבועים חופשיים, מוסיפים תנאי שפה כדי לקבוע את הערכים של הקבועים.

כאשר המשוואה מתארת תהליך פיזיקלי, בדרך כלל היא תלויה בזמן או במרחב. אם התנאים ניתנים ברגע t=0 קוראים להם תנאי התחלה. תנאי שפה חשובים במיוחד במשוואות כמו משוואת לפלס (משוואה דיפרנציאלית חלקית), שבה צריכים לדעת את ערכי הפונקציה על השפה של התחום כדי לקבוע פתרון בתוך התחום.


עבור משוואות דיפרנציאליות רגילות (ODE), מספר תנאי השפה הדרושים שווה לסדר המשוואה. כלומר, למשוואה מסדר שני דרושים שני תנאים. כמות תנאים קטנה מדי לא תקבע פתרון יחיד, ותנאים נוספים מדי עלולים להוביל לאי־פתירות.

עבור משוואות דיפרנציאליות חלקיות (PDE), תנאי השפה הם פונקציות המוגדרות על השפה עצמה.

תנאי השפה מתחלקים לשלושה סוגים עיקריים:
- תנאי דיריכלה: נתון ערכה של הפונקציה על השפה.
- תנאי ניומן: נתונה נגזרת הפונקציה על השפה. כאן "נגזרת" פירושה השינוי של הפונקציה בכיוון מסוים.
- תנאי קושי: נתונים גם ערכי הפונקציה וגם ערכיה של נגזרותיה. תנאי התחלה הוא מצב פרטי של תנאי קושי.

בדרך כלל המשוואה יחד עם סוג תנאי השפה נקראים יחד "בעיה", למשל בעיית דיריכלה או בעיית התחלה.


משוואה פשוטה שמתארת מתנד הרמוני (כמו קפיץ) היא משוואת סדר שני. הפתרון הכללי שלה הוא צירוף של גל מחזורי מסוג סינוס וקוסינוס, עם שני מקדמים חופשיים A ו-B.
כדי לקבוע את A ו־B נצטרך שני תנאי שפה. לדוגמה, אם יודעים שהפונקציה שווה לאפס בנקודה אחת ובערך 2 בנקודה אחרת, מקבלים פתרון ספציפי, למשל פתרון שבו הפונקציה שווה ל־2 כפול סינוס של kx.

משוואת לפלס היא דוגמה קלאסית ל־PDE: האופרטור הלפלסיאן (סכום הנגזרות השניות במימדים) שווה לאפס. בבעיה מסוג דיריכלה קובעים את ערכי הפונקציה על המשטח הסוגר של התחום. דוגמה פיזיקלית: טמפרטורה על משטח סגור ידועה, ומבקשים למצוא את הטמפרטורה בפנים לאחר ההתייצבות.
אם התחום הוא תיבה וניתן להפריד משתנים, הפתרון נבנה כצירוף של פתרונות הרמוניים בכל כיוון. המקדמים של הצירוף נקבעים על ידי תנאי השפה.

משוואת הגלים היא PDE מסדר שני שמתארת גלים הנעים במהירות c. הפתרון הכללי הוא גל שמתקדם במרחב, או צירוף של גלים כאלה. תנאי השפה יכולים לקבוע את צורת חזית הגל, למשל האם הוא מישורי או כדורי.
במישור המיתר הרועד, תנאי דיריכלה מתארים קצה קשור (הערך בקצה קבוע), ותנאי ניומן מתארים קצה חופשי (הנגזרת בקצה ידועה). רעיונות אלה חשובים גם לגלי קול ואור.

תנאי שפה הם נתונים נוספים שעוזרים לבחור פתרון אחד מתוך רבים. בלי תנאי שפה יש הרבה פתרונות אפשריים.

אם המשוואה מתארת זמן, תנאי שמבוא ברגע ההתחלה נקרא תנאי התחלה. זה נותן ערכים שמצמידים פתרון מסוים.

יש שלושה סוגים עיקריים:
- דיריכלה: נותנים את ערכי הפונקציה על השפה. כלומר אומרים מה הערך בקצוות או על המשטח.
- ניומן: נותנים את השינוי של הפונקציה על השפה. "שינוי" כאן פירושו השיפוע או הקצב שבו הפונקציה משתנה.
- קושי: נותנים גם את הערכים וגם את השינוי.


זו משוואה שמתארת תנועה מחזורית, כמו קפיץ. הפתרון הוא שילוב של גל סינוס וגל קוסינוס. יש שני מספרים חופשיים בשילוב הזה. כדי לקבוע את המספרים האלה צריך שני תנאים. אם למשל יודעים שהפונקציה שווה לאפס במקום אחד ול־2 במקום שני, מקבלים פתרון מסוים שבו הפונקציה היא כפולה של סינוס.

זו משוואה שמופיעה כשהטמפרטורה בתוך אזור נקבעת על ידי הטמפרטורה על המשטח שסוגר אותו. אם יודעים את הטמפרטורה על המשטח, אפשר למצוא את הטמפרטורה בפנים.

זוהי משוואה שמתארת גל שנע במהירות c. תנאי השפה קובעים איך נראה הגל. לדוגמה, בקצה של מיתר קשור הערך קבוע. בקצה חופשי השיפוע קבוע. הרעיונות הללו תקפים גם לגלי קול ואור.