תת-קבוצה

קבוצה B היא תת־קבוצה של קבוצה A אם כל איבר של B שייך גם ל־A. (איבר = פריט או מרכיב בקבוצה.) במקרה זה A נקראת קבוצת‑על של B. ייתכן ש‑A ו‑B שוות. אם הן שונות, אז B היא תת‑קבוצה ממש של A.

הסימון הנפוץ הוא B ⊆ A; זה נקרא יחס ההכלה.


הקבוצה הריקה היא תת‑קבוצה של כל קבוצה. (קבוצה ריקה = קבוצה ללא איברים.)

ליחס ההכלה יש תכונות של יחס סדר חלקי. הוא רפלקסיבי, כל קבוצה מכילה את עצמה. הוא אנטיסימטרי, אם A מכילה את B וגם B מכילה את A, אז A ו‑B שוות. הוא טרנזיטיבי, אם C ⊆ B ו‑B ⊆ A אז C ⊆ A. היחס אינו שלם: יש זוגות קבוצות שאף אחת מהן אינה מכילה את השנייה. דוגמה: קבוצת הגברים ודוגמה אחרת: הקבוצות {1,2} ו־{2,3}.


שוויון בין קבוצות מוגדר דרך הכלה: A = B אם ורק אם A ⊆ B וגם B ⊆ A. הכלה ממש מוגדרת כך ש‑B ⊂ A כאשר B ⊆ A ו‑B ≠ A.

יש הערות על סימונים: ברוב הספרים משתמשים ב‑⊆ להכלה וב‑⊂ להכלה ממש, אך יש ספרים שבהם משתמשים בסימונים אחרים כגון ⊂ ו‑⊄ או ⊂ ו‑⊄ לצורך דומה.

B היא תת־קבוצה של A אם כל מה שיש ב‑B גם נמצא ב‑A. (איבר = דבר בקבוצה.)


קבוצה ריקה היא קבוצה בלי איברים. היא תת‑קבוצה של כל קבוצה.

הכללה היא יחס מיוחד בין קבוצות. יחס זה אומר מי מכיל מי.

אפשר להגיד ש‑A ו‑B שוות אם כל אחד מהם מכיל את השני. אם B כלולה ב‑A אבל לא שווה לה, קוראים לזה הכלה ממש. הסימנים המקובלים הם ⊆ להכלה ו‑⊂ להכלה ממש.

דוגמה פשוטה: {1,2} ו־{2,3}, אף אחת מהן לא מכילה את השנייה.