יחס טרנזיטיבי
חוק ההעברה אומר: אם a קשור ל-b ו-b קשור ל-c, אז a קשור גם ל-c. כאן "קשור" זה פשוט דרך לחבר דברים. יש קשרים שבהם זה עובד תמיד. אבל קשרים כמו "בן-של" לא עובדים כך. לדוגמה: איתמר הוא בן של אהרון, ואהרון בן של עמרם, אבל איתמר לא בן של עמרם. לעומת זאת, אם אומרים "א הוא צאצא של ב'", אז זה עובד: אם א צאצא...
מערכת לא-טרנזיטיבית של משתנים מקריים
יש מצבים בהסתברות שבהם העדפות מסתובבות כמו אבן-נייר-מספריים. זה נקרא מערכת לא-טרנזיטיבית. "עדיף" כאן אומר שיש יותר מחצי סיכוי שהאחד יהיה גדול מהשני. אפרון המציא מערכת של ארבע קוביות בשם A, B, C, D. A מנצחת את B, B מנצחת את C, C את D, ו־D מנצחת את A. בכל פעם שהקובייה ה"עדיפה" נוטה להוציא מספר גבוה...
פעולה טרנזיטיבית
פעולה טרנזיטיבית היא מצב שבו קבוצת פעולות G יכולה להעביר כל נקודה x בקבוצה X לכל נקודה y בקבוצה. חבורה היא קבוצה של מהלכים שאפשר לשלב ולבטל. אם תמיד יש מהלך כזה, הפעולה נקראת טרנזיטיבית. המייצב של נקודה הוא כל המהלכים שלא משנים אותה. אם מסתכלים על כל המהלכים ביחס לנקודה, מקבלים קבוצה שנקראת קוסטים....
יחס שקילות
יחס שקילות הוא דרך לקבץ דברים לפי כללים ברורים. יחס בינארי זה כלל שאומר מתי שני איברים קשורים זה לזה. זה מוכתם על ידי זוגות של איברים. כדי להיות יחס שקילות צריך שלוש תכונות קצרות: - רפלקסיביות: כל דבר קשור לעצמו. זה נכון למשל לשוויון. - סימטריות: אם A קשור ל-B אז גם B קשור ל-A. זה עובד בשוויון. - ...
שוויון (מתמטיקה)
שוויון אומר ששני דברים זהים בדיוק. משתמשים בסימן '=' כדי לכתוב שוויון. למשל: 2 + 4 = 6. שני הצדדים מייצגים את אותו מספר. שוויון מופיע בכל המתמטיקה, בין מספרים, קבוצות ופונקציות. פונקציה היא כלל שמקבל משהו ומחזיר משהו. לשוויון יש שלוש תכונות חשובות: - כל איבר שווה לעצמו. - אם a = b אז גם b = a. - אם ...
פרדוקס ההצבעה
פרדוקס ההצבעה נקרא גם פרדוקס קונדורסה. מרקיז דה קונדורסה גילה אותו בסוף המאה ה-18. פרדוקס הוא מצב שנראה מוזר ולא צפוי. הפרדוקס קורה כשקבוצה בוחרת והעדפות הרוב יוצרות מעגל. כלומר A טוב יותר מ־B, B טוב יותר מ־C, אבל C טוב יותר מ־A. זה יכול לקרות אפילו אם כל אדם לא עושה מעגלים בהעדפותיו. שיטות קונדור...
ריצוף (גאומטריה)
ריצוף הוא כיסוי של שטח באריחים דומים. כיסוי אומר שכל מקום מכוסה על ידי אריח אחד. יש סוגים שונים של ריצוף. הם שונים בכמה סוגי אריחים ובאיך שהתבנית חוזרת. דוגמה פשוטה: ריבועים שמכסים את המישור, כמו דף משבצות. לריצוף יש "קבוצת סימטריות". זו קבוצת הזזות וסיבובים ששומרים על התבנית. אם אפשר להעביר כל ...
ישרים מקבילים
ישרים מקבילים הם קווים באותו מישור שאינם נפגשים. ("מישור" = משטח שטוח.) אקסיומת המקבילים אומרת: דרך נקודה מחוץ לקו אפשר להעביר רק קו אחד שאינו נפגש עם הקו ההוא. כשקו חותך שני ישרים, נוצרים כמה זוויות. "זוויות" הן פינות שנוצרות בין קווים. "זוויות חד-צדדיות" הן שתי זוויות שנמצאות מאותו צד של הקו ה...
פועל עומד
פועל עומד הוא פועל שלא צריך מושא. מושא הוא מי או מה שמקבלים את הפעולה. במשפט "אני הולך" אין צורך במילה אחרי. לכן "הולך" הוא פועל עומד. אבל ב"אני רוצה" צריך להשלים. למשל "אני רוצה את הספר". לכן "רוצה" הוא פועל יוצא. דונש בן לברט נתן את השם הזה בעברית. חלק מהשפות מחלקות את הפעלים העומדים לשני סוגים...
תת-קבוצה
B היא תת־קבוצה של A אם כל מה שיש ב‑B גם נמצא ב‑A. (איבר = דבר בקבוצה.) קבוצה ריקה היא קבוצה בלי איברים. היא תת‑קבוצה של כל קבוצה. הכללה היא יחס מיוחד בין קבוצות. יחס זה אומר מי מכיל מי. אפשר להגיד ש‑A ו‑B שוות אם כל אחד מהם מכיל את השני. אם B כלולה ב‑A אבל לא שווה לה, קוראים לזה הכלה ממש. הסימני...
סדר טוב
סדר טוב הוא סדר שבו כל תת־קבוצה לא ריקה מתחילה עם איבר ראשון. (איבר ראשון הוא האיבר הקטן ביותר בקבוצה.) דוגמה פשוטה: המספרים הטבעיים מסודרים היטב. בכל קבוצה של טבעיים יש מספר הכי קטן. אבל בכל השלמים אין מספר ראשון. לכן הם לא מסודרים היטב. עבור המספרים הממשיים אומרים שיכולים לסדר אותם היטב בעזרת רע...
וילפרדו פארטו
וילפרדו פארטו נולד ב־1848 ומת ב־1923. הוא גדל באיטליה. הוא למד מתמטיקה ועבד כמהנדס. אחר כך לימד כלכלה. פארטו חקר איך נכס וכסף מתחלקים בין אנשים. הוא גילה שנוהגים לראות שלפעמים 20% מהאנשים מחזיקים ב־80% מהרכוש. זה נקרא חוק פארטו. החוק עוזר להבין אי־שוויון, איך יש אנשים עשירים יותר מאחרים. הוא גם ח...
חבורת מנה
חבורת מנה היא חבורה שמורכבת מקבוצות קטנות שנקראות מחלקות (כל מחלקה היא קבוצת איברים שקשורים זה לזה). יש חבורה G ותת־חבורה מיוחדת N שנקראת נורמלית. נורמלית פירושה שהמחלקות משמאל ומשמאל זהות. עושים אוסף של כל המחלקות G/N. כופלים שתי מחלקות כך: יוצרים מחלקה מהכפל של נציגי המחלקות. הפעולה הזו תמיד יוצ...
מחלק
מספר a הוא מחלק של מספר b אם יש מספר שלם c כך ש‑b=a·c. זה אומר שהחלוקה של b ב‑a לא נותנת שארית. דוגמה פשוטה: 5 מחלק את 35 כי 35=5·7. אבל 5 לא מחלק את 33. חוקים קצרים: אם a מחלק b וגם b מחלק c אז a מחלק גם את c. כל מספר מחלק את עצמו. אפס מחלק אפס אבל חלוקה ב‑0 אינה נכונה. לכל מספר טבעי יש מספר מס...
יחס (תורת הקבוצות)
יחס בינארי הוא קבוצה של זוגות. זוג סדור זה שתי פריטים בסדר קבוע. הפריט הראשון מגיע מקבוצה A, והשני מקבוצה B. אם הזוג (a,b) שייך ל‑R אומרים "a ביחס עם b". דוגמאות פשוטות הן שווה, קטן מ‑, ופונקציה. רפלקסיבי: כל איבר קשור לעצמו. למשל השווה. אי‑רפלקסיבי: אף איבר לא קשור לעצמו. "קטן מ" הוא כזה. סימ...