השערת הרצף
קנטור אמר שיש שלוש אפשרויות לגודל קבוצה של מספרים ממשיים. או שהקבוצה סופית, או שאפשר למנות אותה כמו 1,2,3,... (זה נקרא בת-מנייה), או שהיא בגודל של כל הממשיים יחד. קנטור הראה שיש יותר ממשיים מאשר טבעיים. הוא חשב שאי אפשר למצוא גודל באמצע. הוא לא הוכיח זאת. הגודל של הממשיים שווה לגודל של כל הרשימו...
עוצמת הרצף
עוצמת הרצף היא כמה איברים יש במספרים הממשיים. זו דרך למדוד גודל של קבוצה. קנטור הראה שאי אפשר לספור את כל המספרים הממשיים עם 1,2,3,... . הוכחה זו נקראת רעיון האלכסון. הוא גם הראה שעוצמת הממשיים זהה לעוצמת כל הקבוצות של תתי־הטבעיים. זאת אומרת: יש יותר ממשיים מאשר טבעיים. שאלה גדולה הייתה אם יש "ג...
תבנית:הידעת? 9 באוגוסט - סדרה 2
השערת הרצף ניסח גאורג קנטור. הילברט שם אותה במקום הראשון ברשימת הבעיות שלו ב-1900. הרבה מתמטיקאים ניסו להוכיח או להפריך אותה ולא הצליחו. ב-1937 קורט גדל הראה שהנחה שהיא נכונה מסתדרת עם כללי המתמטיקה הבסיסיים. ב-1963 פול כהן הראה שגם ההנחה ההפוכה מסתדרת עם אותם כללים. לכן לא ניתן להוכיח ולא להפריך א...
תבנית:הידעת? 26 בדצמבר - סדרה 2
גם אותיות יכולות לעזור במתמטיקה. המתמטיקאי גאורג קנטור השתמש באות א' בשביל לציין "אלף אפס". "אלף אפס" הוא גודל של כל המספרים הטבעיים. מאוחר יותר השתמשו גם באות ב'. האות ב' מסמלת את גודל כל המספרים הממשיים. יש השערה שאומרת שהעוצמה הקטנה שאינה ניתנת לספירה שווה לעוצמה הזאת....
אלף אפס
ℵ₀ (אלף־אפס) הוא הסימון לגודל של קבוצת המספרים הטבעיים. גודל כאן = כמה איברים יש בקבוצה. המתמטיקאי גאורג קנטור חשב על זה בסוף המאה ה-19. הוא השתמש בסימן הזה לראשונה במאמר שפורסם ב-1895. הוא בחר באות העברית אלף כדי לא לחזור על אותיות שכבר היו בשימוש. קבוצות שגודלן ℵ₀ נקראות בנות־מנייה. זה אומר שאפש...
משפטי האי-שלמות של גדל
קורט גדל היה לוגיקן שהוכיח בשנות ה-30 שני משפטים חשובים. הם מראים שלמערכות חוקים במתמטיקה יש גבולות. מערכת אקסיומות היא קבוצה של כללים בסיסיים. אם המערכת ברורה ומכאנית, אפשר לבדוק חוקים בה בצורה מדויקת. המשפט הראשון אומר שקיימת תמיד טענה שאי אפשר להוכיח או להפריך בתוך המערכת. הגדל בנה טענה שאומ...