השערת הרצף היא רעיון שקנטור, מייסד תורת הקבוצות, הציע. היא טוענת שעוצמת הרצף, גודל קבוצת המספרים הממשיים (המסומנת לעיתים c או 2^{\aleph_0}), היא העוצמה הקטנה ביותר של קבוצה שאיננה בת-מנייה. "בת-מנייה" פירושו שאפשר למנות את האיברים ברצף 1,2,3,... (זהו \aleph_0). המשמעות הפרקטית היא: כל קבוצה אינסופית של ממשיים היא או סופית, או בת-מנייה, או יש לה עוצמת הרצף.
קנטור הראה בעזרת שיטת האלכסון שלו שהעוצמה של הממשיים גדולה מזו של הטבעיים. הוא לא הצליח להוכיח שאין עוצמה שביניהן, ולכן הציע את ההשערה. הילברט הציב אותה כחלק מהבעיות החשובות של המאה ה־20.
קנטור הראה שעוצמת הממשיים שווה לעוצמת קבוצת כל תתי-הקבוצות של המספרים הטבעיים. כלומר, |
R| = 2^{\aleph_0}. שיטת האלכסון מראה ש־2^{\aleph_0} > \aleph_0.
בשנות ה־30 גילה קורט גדל כלי שנקרא "קבוצות ניתנות לבנייה". בשנת 1937 הוא הראה שאם תורת הקבוצות הרגילה (ZFC) עקבית, אז אפשר להוסיף את השערת הרצף כאקסיומה מבלי לפתח סתירה. אחר כך, בשנת 1963, פול כהן פיתח את שיטת הכפייה (forcing) והראה שאפשר גם להוסיף אקסיומה השוללת את השערת הרצף בלי לפתח סתירה. לכן ההשערה בלתי־תלויה באקסיומות ZFC: לא ניתן להוכיח אותה ולא ניתן להפריך אותה מתוך אותן אקסיומות.
יש ניסוחים שקולים של ההשערה. למשל פאול ארדש ושיזו קקוטני הראו ששוויון ההשערה שקול לכך שניתן לפרק את הממשיים למספור (מספר בן-מנייה) של קבצים כך שכל קבוצה כזו בלתי תלויה מעל הרציונליים. ניסוח מקביל אומר שיש צביעה של הממשיים במספר בן-מנייה של צבעים כך שלא קיימים ארבעה מספרים שונים באותו צבע שמקיימים w+x=y+z.
חוקרים בוחנים אפשרויות של "עוצמות ביניים" דרך מאפיינים קומבינטוריים של אוסף תת-הקבוצות האינסופיות של \mathbb{N}. לדוגמה:
- "מפצל": תת־קבוצה A מפצלת תת־קבוצה אינסופית B אם גם A∩B וגם B\A אינסופיים. המאפיין \mathfrak{s} הוא הגודל הקטן ביותר של אוסף תתי־קבוצות שמפצל כל תת־קבוצה אינסופית.
- המאפיין \mathfrak{r} הוא הגודל הקטן ביותר של אוסף שאין לו אף מפצל אינסופי.
יש עוד מאפיינים כמו \mathfrak{b} ו־\mathfrak{d} שמתארים גדלים של משפחות פונקציות מהטבעיים לעצמם. בין המאפיינים מתקיימות אי־שנויות ידועות, למשל \mathfrak{b} \le \mathfrak{r} \le \max(\operatorname{cov}(\mathcal{B}),\operatorname{cov}(\mathcal{L})) ועוד.
ההשערה המוכללת (GCH) אומרת שבין כל עוצמה אינסופית |S| לבין 2^{|S|} אין עוצמות אחרות. GCH חזקה עד כדי כך שהיא גוררת גם את אקסיומת הבחירה. היא מתקיימת במודל הקבוצות הניתנות לבנייה, ולכן קל יחסית להראות את עקביותה יחסית ל־ZFC. עם כפייה אפשר להפר או להשיג את GCH במודלים לפי הצורך. לעומת זאת, להפר אותה במונחים של מונים חריגים לעיתים דורש הנחות חזקות נוספות, כמו קיום מונים גדולים מאוד.
קנטור אמר שיש שלוש אפשרויות לגודל קבוצה של מספרים ממשיים. או שהקבוצה סופית, או שאפשר למנות אותה כמו 1,2,3,... (זה נקרא בת-מנייה), או שהיא בגודל של כל הממשיים יחד.
קנטור הראה שיש יותר ממשיים מאשר טבעיים. הוא חשב שאי אפשר למצוא גודל באמצע. הוא לא הוכיח זאת.
הגודל של הממשיים שווה לגודל של כל הרשימות האפשריות של תתי־קבוצות של המספרים הטבעיים. שיטת האלכסון של קנטור מראית זאת.
מאוחר יותר גדל הראה שאם חוקי תורת הקבוצות תקינים, אפשר להוסיף את ההשערה בלי לשבור את החוקיות. כהן הראה שניתן גם להוסיף חוק שאומר שההשערה לא נכונה, וגם אז אין סתירה. לכן לא ניתן להוכיח את ההשערה עם החוקים הרגילים.
יש ניסוחים אחרים של ההשערה. לדוגמה ארדש וקקוטני הראו שאפשר לצבוע את הממשיים במספר צבעים בן-מנייה כך שאין ארבעה מספרים שונים באותו צבע שמקיימים w+x=y+z.
ההשערה המוכללת אומרת שאותו רעיון נכון לכל גדלים אינסופיים. יש מודל שבו היא נכונה. אפשר גם, בעזרת שיטה מיוחדת, להשיג מודלים שבהם היא נכשלת.
תגובות גולשים