חבורת גלואה האבסולוטית
חבורת גלואה האבסולוטית של שדה היא קבוצת כל ההחלפות (סימטריות) של מספרים מרחבה גדולה. הסגור הספרבילי הוא סגור שמכיל את כל ההרחבות שבהן השורשים מסודרים ולא כפולים. בשדות מסוימים זה שווה לסגור האלגברי. החבורה הזו חשובה בלימוד מספרים. קשה לדעת את החבורה הזאת בדיוק. זה קשה גם עבור המספרים ההרציונליים. יש...
אוטומורפיזם
אוטומורפיזם הוא פונקציה מהמבנה לעצמו. הוא שומר על כל הפעולות והוא הפיך. (הפיך = יש לה פונקציה הפוכה.) הומומורפיזם הוא פונקציה בין שני מבנים. הוא שומר פעולות ויחסים. איזומורפיזם הוא הומומורפיזם שיש לו הפוך. כל האוטומורפיזמים של מבנה יוצרים חבורה. חבורה היא קבוצה של פעולות שאפשר להרכיב אחת על השנייה...
תורת גלואה
תורת גלואה בודקת איך שדות וקבוצות של סימטריות קשורים. שדה הוא קבוצה של מספרים שאפשר לחבר ולכפול. היא עוזרת להבין מתי משוואות נפתרות בעזרת שורשים. כשמוסיפים מספרים ל־F מקבלים שדה גדול K. אם מספר הוא שורש של פולינום עם מקדמים ב־F קוראים לו אלגברי. אם מוסיפים שורש של פולינום אי־פריק מקבלים הרחבה פשו...
משפט קרונקר-ובר
משפט קרונקר-ובר אומר: כל הרחבה אבלית סופית של המספרים הרציונליים נמצאת בתוך שדה ציקלוטומי. שדה ציקלוטומי נוצר כשהוסיפו מספר ששווה ל-1 כשהורמים אותו בחזקה n. קרונקר הציע את הרעיון ב-1853, ובר הוכיח זאת ב-1886. דוגמה קלה: הרחבות ריבועיות נוצרות כשמוסיפים שורש ריבועי √d. אפשר להראות שהן תמיד יושבות בת...