אוטומורפיזם

אוטומורפיזם הוא פונקציה ממבנה מתמטי לעצמו, שמשמרת את כל מאפייני המבנה והיא הפיכה.

הומומורפיזם הוא פונקציה בין שני מבנים מאותו סוג, ששומרת פעולות, יחסים וקבועים. אוטומורפיזם הוא הומומורפיזם הפיך מהמבנה אל עצמו. איזומורפיזם הוא הומומורפיזם שהפוך שלו גם קיים, ולכן גם הוא שווה גם לאוטומורפיזם כשמדובר על פונקציה מהמבנה לעצמו.

אוסף כל האוטומורפיזמים של מבנה X יוצר חבורה ביחס להרכבה. חבורה (קבוצה עם פעולה, זהות והפכים) שומרת את התכונה הזו כי הרכבה של שתי פונקציות המשמרות מבנה משמרת גם היא את המבנה. גם הפונקציה ההפוכה של אוטומורפיזם משמרת את המבנה. את חבורת האוטומורפיזמים מציינים בדרך כלל ב-Aut(X).

חבורת האוטומורפיזמים משקפת את הסימטריות של המבנה. מבנה סימטרי בדרך כלל יישא חבורה גדולה יותר של אוטומורפיזמים. לכן לעתים קרובות ההכרה בחבורת האוטומורפיזמים עוזרת להבין טוב יותר את המבנה המתמטי.

התורה המתאימה לחקר קבוצות אלה היא תורת החבורות. בתוך התחום הזה יש חשיבות מיוחדת לחבורות אוטומורפיזמים של חבורות אחרות.

בתורת גלואה, חבורת האוטומורפיזמים של שדה K, כפונקציות שמכבדות חיבור וכפל ומסירות את איברי תת‑השדה F, נקראת חבורת גלואה של ההרחבה K/F. פירוש "מכבדות את הכפל בסקלר" כאן הוא שהאוטומורפיזמים משאירים את איברי F קבועים.

אוטומורפיזם הוא פונקציה מהמבנה לעצמו. הוא שומר על כל הפעולות והוא הפיך. (הפיך = יש לה פונקציה הפוכה.)

הומומורפיזם הוא פונקציה בין שני מבנים. הוא שומר פעולות ויחסים. איזומורפיזם הוא הומומורפיזם שיש לו הפוך.

כל האוטומורפיזמים של מבנה יוצרים חבורה. חבורה היא קבוצה של פעולות שאפשר להרכיב אחת על השנייה. ההרכבה של שתי פונקציות ששומרות מבנה גם שומרת את המבנה. הפונקציה ההפוכה גם שומרת אותו.

חבורת האוטומורפיזמים מראה את הסימטריה של המבנה. אם המבנה סימטרי, יש לו הרבה אוטומורפיזמים.

בתורת גלואה קוראים לחבורת האוטומורפיזמים של שדה K על תת‑שדה F חבורת גלואה. שדה זה הוא קבוצה עם חיבור וכפל. בחבורת הגלואה כל הפונקציות משאירות את איברי F כפי שהם.