טור חזקות
טור חזקות הוא סכום של חזקות של x סביב נקודה c. כל חלק נקרא a_n(x-c)^n. a_n הם המקדמים. טורי חזקות עובדים טוב בתוך מרחק מסוים מ-c. המרחק הזה נקרא רדיוס התכנסות. אם הרדיוס גדול מאוד, הטור עובד כמעט תמיד. לכל טור יש דרך לחשב את המרחק הזה. אפשר לחבר או לחסר טורים על ידי חיבור המקדמים. מכפלה של טורים י...
רדיוס התכנסות
רדיוס ההתכנסות הוא המרחק מהמרכז שבו טור חזקות "עובד". טור חזקות הוא סכום של מספרים שנכנסים לחזקות של (z-a). רדיוס זה יכול להיות אפס, מספר חיובי או אינסוף. נקודה שבה הפונקציה לא מוגדרת נקראת סינגולריות. המרחק לסינגולריות הקרובה קובע לעתים קרובות את הרדיוס. אם יודעים את כל המספרים במקדמים, אפשר לחשב ...
אקספוננט
האקספוננט הוא פונקציה מיוחדת שקשורה לקבוע בשם e. פונקציה זה שם למשהו שמקבל מספר ומחזיר מספר אחר. את e מגדירים בעזרת גבול של ביטוי שחוזר על עצמו. אפשר גם להגדיר את e^x כסכום אינסופי של חזקות. טור חזקות זה הוא סכום ארוך של ביטויים עם x בחזקות שונות. e^x תמיד חיובי. פירושו של דבר שהוא אף פעם לא אפס ...
נוסחת האינטגרל של קושי
נוסחת האינטגרל של קושי אומרת כך: אפשר לדעת מה הפונקציה שווה בפנים של עיגול רק מהערכים על השפה של העיגול. פונקציה שכזו נקראת הולומורפית. זה אומר שאפשר למצוא לה נגזרת במובן מיוחדת למספרים מרוכבים. אם יש עיגול בתוך קבוצה פתוחה והפונקציה הולומורפית בתוכו, אז ערך הפונקציה בכל נקודה בפנים נקבע על ידי האי...
פונקציה אנליטית
פונקציה אנליטית היא פונקציה שאפשר לכתוב כסכום של חזקות של x. טור חזקות זה הוא כמו סכום של הרבה מונחים עם x, x^2, x^3 ועוד. אם הסכום הזה עובד בסביבה של נקודה, הפונקציה אנליטית שם. מבחן השורש (בדיקה של טורים) מראה שאפשר לגזור טור חזקות מונח־מונח. לכן פונקציה אנליטית ניתנת לגזירה הרבה פעמים. דוגמה קלה...
פונקציה יוצרת
פונקציה יוצרת עוזרת לשים סדרת מספרים בתוך ביטוי אחד. כך אפשר לקרוא בקלות את כל המספרים מהביטוי הזה. הפונקציה היוצרת הסטנדרטית בונה סכום שבו כל מספר בסדרה תקבל חלק משלו לפי המיקום שלו. זה שימושי כשחושבים על ספירות או על דרכים לספור דברים. בקומבינטוריקה משתמשים בזה כייצוג פורמלי, גם אם הביטוי לא מתכ...