טור חזקות

טוּר חֲזָקוֹת הוא סכום של חזקות של משתנה סביב נקודה מסוימת. למשל
f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n, כאשר a_n הם המקדמים, מספרים שמקנים משקל לכל חזקת n, ו-c היא נקודת הפיתוח.

טורי חזקות שונים מתכנסים או מתבדרים בתלות ב-|x-c|. רדיוס התכנסות r הוא המרחק מקוּצת ה-x שבו הטור מתכנס באופן בטוח. אם r=\infty הטור מתכנס לכל x. על המעגל |x-c|=r אי־אפשר לומר ודאות; יש דוגמאות לשני המקרים.
יש נוסחה שמחשבת את r: נוסחת קושי־אדמר אומרת r=1/\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}. כאשר הגבול הוא אפס, r=\infty. יש גם נוסחה פשוטה יותר במקרים מסוימים, המבוססת על היחס a_{n+1}/a_n.

חיבור או חיסור של שני טורים נעשים איבר אחר איבר. מקדם של x^i הוא פשוט הסכום או ההפרש של המקדמים המתאימים.

מכפלת טורים נותנת סכום שבו כל מקדם נוצר כסכום של מכפלות מקדמים מתאימים. זו פעולה שנקראת קונבולוציה של המקדמים.

בתוך תחום ההתכנסות מותר לגזור או לאינטגרט איבר־איבר. הנגזרת של a_i(x-c)^i היא a_i i(x-c)^{i-1}. אינטגרציה מעלה את החזקה ב־1 ומחלקת ב־i+1, עם קבוע C.
אחרי גזירה: אם הטור הגזור מתכנס בגבולות, אז המקורי מתכנס גם כן. ההיפוך אינו תמיד נכון. לגבי אינטגרציה ההיגיון הפוך במידה דומה.

טורי חזקות מתארים פונקציות אנליטיות, פונקציות שניתן לכתוב כטור סביב נקודה. מקדמי טור טיילור סביב c הם a_n=f^{(n)}(c)/n!. כלומר טור החזקות של פונקציה אנליטית הוא טור טיילור שלה.
במישור המרוכב, רדיוס ההתכנסות שווה למרחק לנקודה הסינגולרית הקרובה ביותר.
ניתן גם להכליל לטורי לורן לתיאור פונקציות עם סינגולריות.

בתחומים אלגבריים וקומבינטוריקה עובדים עם טורי חזקות פורמליים. שם לא בודקים התכנסות. הטורים מיועדים רק לחישוב באמצעות המקדמים. פונקציות יוצרות הן דוגמה כזו.

exp(x)=e^x = \sum_{n=0}^\infty x^n/n!. זו דוגמה טובה לכך שחזקות עובדות יפה תחת חיבור וכפל.

\sin x = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k x^{2k+1}/(2k+1)!,
\cos x = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k x^{2k}/(2k)!.

המקרה הקלאסי: 1/(1-x)=\sum_{k=0}^\infty x^k. כאן רדיוס ההתכנסות הוא 1.

לפעמים מזהים טור עם פונקציה ידועה על ידי מניפולציות אלגבריות על הטור. אם מצליחים, אפשר להחזיר את התוצאה לפונקציה המקורית.

טור חזקות הוא סכום של חזקות של x סביב נקודה c.
כל חלק נקרא a_n(x-c)^n. a_n הם המקדמים.

טורי חזקות עובדים טוב בתוך מרחק מסוים מ-c. המרחק הזה נקרא רדיוס התכנסות.
אם הרדיוס גדול מאוד, הטור עובד כמעט תמיד.
לכל טור יש דרך לחשב את המרחק הזה.

אפשר לחבר או לחסר טורים על ידי חיבור המקדמים.
מכפלה של טורים יוצרת מקדמים חדשים שמתקבלים מסכימות של מכפלות.
ניתן גם לגזור טור ולחבר אותו חזרה, במקום לחשב נגזרת רגילה.

טורי חזקות עוזרים לכתוב פונקציות מוכרות כאוסף חזקות. מקדמי הטור קשורים לנגזרות של הפונקציה.
זה שימושי לחישוב ערכים ולניתוח פונקציות.

exp(x)=e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...
\sin x ו־\cos x ניתנים גם הם לטורים דומים.
דוגמה פשוטה: 1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+...