משפט ארדש-סקרש
משפט ארדש, סקרש אומר כך: אם יש רשימה של ab+1 מספרים, תמיד יש רשימה משנה של a+1 מספרים עולים או של b+1 מספרים יורדים. (עולה = כל מספר גדול מקודמו, יורד = כל מספר קטן מקודמו.) יהיו a,b מספרים שלמים וחיוביים. ברשימה של ab+1 מספרים תמיד נמצאת תת־רשימה עולה של a+1 או יורדת של b+1. המשפט הוכח על־ידי פא...
פונקציה עולה
פונקציה עולה: כשה־x גדל, גם הערך גדל. (זה אומר שאם x קטן יותר, f(x) קטן יותר.) פונקציה יורדת: כשה־x גדל, הערך קטן. יש שני אופנים: חזק (ערכים גדלים באמת) וחלש (הערכים לא קטנים). פונקציה קבועה נותנת את אותו ערך תמיד. f(x)=x עולה. f(x)=-x יורדת. f(x)=c קבועה היא גם עולה וגם יורדת בחלש. x^2 לא מונוטו...
פונקציה מונוטונית
פונקציה מונוטונית היא חוק שמקשר בין שתי קבוצות מסודרות. קבוצה מסודרת = קבוצה שבה יודעים מי לפני מי. עולה: אם a לפני b, אז f(a) לפני f(b). זה שומר על הסדר. לא יורדת: אם a לפני b, אז f(a) לפני או שווה ל‑f(b). כלומר היא לא הופכת את הסדר. יורדת: אם a לפני b, אז f(a) אחרי f(b). כאן הסדר מתהפך. פונקצ...
סדר טוב
סדר טוב הוא סדר שבו כל תת־קבוצה לא ריקה מתחילה עם איבר ראשון. (איבר ראשון הוא האיבר הקטן ביותר בקבוצה.) דוגמה פשוטה: המספרים הטבעיים מסודרים היטב. בכל קבוצה של טבעיים יש מספר הכי קטן. אבל בכל השלמים אין מספר ראשון. לכן הם לא מסודרים היטב. עבור המספרים הממשיים אומרים שיכולים לסדר אותם היטב בעזרת רע...
משפט החיתוך של קנטור
סדרה יורדת של קבוצות היא קבוצות אחת על השנייה. למשל A1 ⊇ A2 ⊇ A3 … . קוטר של קבוצה הוא המרחק הגדול ביותר בין שתי נקודות בה. אם יש מקום שבו מודדים מרחקים (מרחב מטרי) והוא שלם (כל סדרת קושי מתכנסת), אז: אם בנויות קבוצות סגורות ולא ריקות שכל פעם קטנות יותר, והקוטר שלהן שואף לאפס, אז יש נקודה אחת שמשות...
חבורה נילפוטנטית
חבורה היא קבוצה עם חוק שמחבר בין איברים (פעולה). חבורה נילפוטנטית היא חבורה שבה אחרי שמחשבים 'הבדלים' מסוימים פעמים רבות, מקבלים תמיד את האיבר הנייטרלי. ה'הבדל' הזה קוראים לו קומוטטור. קומוטטור של x ו־y הוא [x,y]=xyx^{-1}y^{-1}. אם כל הקומוטטורים שעם משקל מסוים הם ניטרליים, אומרים שהחבורה נילפוטנ...
חוג ארטיני
חוג ארטיני הוא חוג שמפסיק לקבל אידיאלים יותר ויותר קטנים. אידיאל הוא קבוצה מיוחדת בתוך החוג. כל אלגברה עם מספר סופי של ממדים מעל שדה היא ארטינית. חוגים כאלה פשוטים יחסית ומבנים מהם ברורים. הרדיקל של ג'ייקובסון בחוג ארטיני הוא נילפוטנטי. נילפוטנטי פירושו: אם מרימים איבר בחוזקה מסוימת הוא הופך לאפ...
קשת (כלי מיתר)
קשת היא הכלי שמגרד על המיתר כדי להוציא צליל. משתמשים בקשת לנגינה כבר בתקופות מאוד קדומות. הקשת של היום התפתחה במאה התשע עשרה. היא עשויה מעץ גמיש ובעלת רצועת שערות זנב סוס. על השערות מורחים שרף דביק שנקרא קולופוניום. קולופוניום עוזר לשערות להיאבק במיתר ולהוציא צליל נקי. בקצה הקשת ליד היד יש חלק שנ...