מרחב בנך
מרחב בנך הוא מקום שבו עובדים עם וקטורים. יש בו דרך למדוד אורך של כל וקטור. קוראים למדידה הזו נורמה. "שלם" אומר שרצפים שמתקרבים ממש כן נקבלים למקום הזה. כדור היחידה הוא כל הווקטורים שאורכם לא גדול מ‑1. הכדור הזה קמור וסימטרי סביב 0. יש כמה משפטים חשובים: - משפט שמאפשר להאריך מדידות ליניאריות מתת...
משפט בנך-אלאוגלו
משפט בנך-אלאוגלו אומר שכדור מיוחד של פונקציות הוא קומפקטי בטופולוגיה חלשה-*. קומפקטי פה אומר שאפשר לכסות אותו עם מעט חלקים. יהי X מרחב נורמי, ו-X* הוא המרחב של כל הפונקציות הליניאריות והרציפות על X. זו קוראים לה המרחב הדואלי. לכל נקודה x ב-X יש בדיקה שמודדת כל פונקציה f על ידי הערך f(x). הטופולוגי...
מרחב נורמי
מרחב נורמי הוא מקום עם וקטורים. נורמה היא דרך למדוד אורך של וקטור. היא נותנת תמיד מספר חיובי, שווה אפס רק בווקטור האפס, ומשתנה נכון כשמכפילים במספר. עוד כלל חשוב הוא אי־שוויון המשולש: אורך סכום לא גדול מסכום האורכים. מרחב בנך הוא מרחב נורמי שהוא שלם (אין בו 'חורים'). שתי נורמות שקולות אם אפשר להשוות...
משפט ההעתקה הפתוחה
אם יש פעולה ליניארית A שמחברת בין שני מרחבים גדולים שנקראים מרחבי בנך (Banach). מרחב בנך הוא מקום שאפשר למדוד בו מרחק, והשמות המיוחדים אומרות שהמרחב "מושלם" מבחינת התכנסות. אם A מגיעה לכל נקודה ביעד (על), אז כל קבוצה פתוחה במקור תופיע בתור קבוצה פתוחה ביעד. מספיק להראות שזה נכון בשביל כדור פתוח ש...
משפט בנך-שטיינהאוס
משפט בנך-שטיינהאוס אומר משהו פשוט וחזק על כללים שממירים נקודות לנקודות. מרחב בנך הוא מקום שבו אפשר למדוד מרחקים והוא "שלם", כל סדרה שמתקרבת מגיעה למקום בתוך המרחב. העתקה ליניארית היא חוק שממיר נקודות בדרך שמכבדת חיבור וכפל במספרים. אם יש משפחה של חוקים כאלו ממרחב אחד לאחר, ונניח שלכל נקודה כל החוק...
תורת הקירובים
תורת הקירובים עוסקת בדרך למצוא חיבורים פשוטים שמדמים פונקציות מסובכות. פולינום הוא חיבור של חזקות של x. מחשבים אוהבים פולינומים כי הם קלים לחישוב. אם רוצים לחשב פונקציה קשה, מקרבים אותה בפולינום. ככל שמגבירים את דרגת הפולינום יש שגיאה קטנה יותר. משפט ויירשטראס אומר שאפשר לקרב כל פונקציה רציפה על ק...
אלגברת בנך
אלגברת בנך היא מקום מתמטי שבו יש חיבור וכפל, ויש דרך למדוד גודל שנקראת נורמה. נורמה = מדד לגודל של איברים. מספרים ממשיים וכולי הם דוגמה פשוטה. גם המספרים המרוכבים נכנסים כאן. מטריצות (טבלאות של מספרים) הן דוגמה נוספת. קבוצת כל הפונקציות הרציפות על מרחב קומפקטי גם היא אלגברה כזו. לכל איבר אפשר לה...
מרחב דואלי
המרחב הדואלי של מרחב וקטורי V הוא כל הפונקציות הליניאריות מ‑V ל‑F. פונקציה ליניארית היא חוקים שמכבדים חיבור וכפל בסקלר. אם V קטן (ממד סופי), יש קשר חזק בין V לבין הדואלי שלו. כדי להשוות ביניהם צריך לבחור בסיס. בלי בחירה כזו הם לא תמיד זהים. יש דרך טבעית לשים כל וקטור x בתוך ה־V^{**}. מסתכלים על ה...
התכנסות נקודתית
התכנסות נקודתית פירושה: עבור כל נקודה x, המספרים f_n(x) מתקרבים למספר אחד. זו דרך לבדוק מה קורה בנקודה אחרי הרבה צעדים. פונקציית הגבול היא הפונקציה שמקבלת את המספרים האלה בכל נקודה. יש רשימה ארוכה של פונקציות f_1,f_2,f_3,... . אם עבור נקודה x כל הערכים f_n(x) מתקרבים לאותו מספר, אומרים שהסדרה מתכנס...
טופולוגיה חלשה
טופולוגיה חלשה היא דרך להגדיר מתי נקודות קרובות. הרעיון הוא להשתמש בפונקציות רציפות כדי למדוד קרבה. פונקציה רציפה היא חוק שסוגר של שינוי קטן בקלט גורם לשינוי קטן בתוצאה. יש משפחה של פונקציות רציפות על המרחב. רוצים בטופולוגיה הכי פשוטה שעדיין שומרת על כך שכל הפונקציות האלו יהיו רציפות. סביב כל נקודה...
קטגוריה:אנליזה פונקציונלית
אנליזה פונקציונלית היא חלק במתמטיקה. היא בודקת וקטורים וחוקים שעובדים על פונקציות. וקטור הוא כמו חץ עם גודל וכיוון. נורמה היא דרך למדוד אורך או גודל. לפעמים בוחנים מרחבים מיוחדים שנקראים בנך והילברט. שם האיברים הם פונקציות....