אלגברת בנך

במתמטיקה, אלגברת בנך היא מרחב בנך שהוא גם אלגברה מעל שדה הסקלרים, כך שפעולת הכפל רציפה. מרחב בנך = Banach space = מרחב וקטורי עם נורמה שלמה. אלגברה כאן פירושה שיש פעולת כפל ביליניארית שמקיימת חוקי חיבור וכפל רגילים.

באופן פורמלי, אלגברת בנך היא אלגברה אסוציאטיבית שבה לכל x,y מתקיים

\|x\cdot y\| \leq \|x\|\,\|y\|.

האי־שוויון הזה אומר שהנורמה (מדד לגודל) מתאימה לכפל. אלגבראות אלה נקראות על שם סטפן בנך.


מספרים ממשיים וכפולותיהם הם דוגמה פשוטה. המספרים המרוכבים הם גם אלגברת בנך. מטריצות n×n עם נורמה תת-כפלית הן דוגמה חשובה נוספת. אוסף כל הפונקציות הרציפות ממשטח קומפקטי לערכים מורכבים, עם נורמת הסופרימום וכפל נקודתי, הוא אלגברת בנך שימושית בתרבויות האנליזה.


אלגבראות בנך עם יחידה מתאימות היטב לתיאוריה הספקטרלית. עבור איבר x מגדירים את הספקטרום כקבוצת הסקלרים λ כך ש־x−λ1 אינו הפיך. הספקטרום תמיד קומפקטי. אם שדה הסקלרים הוא המספרים המרוכבים, הספקטרום אינו ריק.

בנוסף יש תחשיב פונקציונלי הולומורפי: לכל f הולומורפית על הספקטרום של x ניתן להגדיר את f(x). זה מאפשר להחיל פונקציות מורכבות על איברי האלגברה.

אלגברת בנך היא מקום מתמטי שבו יש חיבור וכפל, ויש דרך למדוד גודל שנקראת נורמה. נורמה = מדד לגודל של איברים.


מספרים ממשיים וכולי הם דוגמה פשוטה. גם המספרים המרוכבים נכנסים כאן. מטריצות (טבלאות של מספרים) הן דוגמה נוספת. קבוצת כל הפונקציות הרציפות על מרחב קומפקטי גם היא אלגברה כזו.


לכל איבר אפשר להגדיר קבוצת מספרים מיוחדת שנקראת ספקטרום. ספקטרום הוא תמיד קבוצה קטנה וסגורה. אם עובדים עם מספרים מרוכבים, הספקטרום אף פעם לא ריק. אפשר גם "להפעיל" פונקציות חלקות (הולומורפיות) על איבר בעזרת תחשיב מיוחד.

המושג נקרא על שם המתמטיקאי סטפן בנך.