המרחב הדואלי של מרחב וקטורי V מעל שדה F הוא קבוצה של כל הפונקציות הליניאריות V → F. פונקציונאל ליניארי הוא פונקציה שמכפילה סכומים וסקאלרים באופן שמכונה ליניאריות. החיבור והכפל בסקלר במרחב הדואלי מוגדרים נקודתית.
אם V בעל ממד סופי, אז V איזומורפי (יש התאמה חד-חד-ערכית ובמסגרת וקטורית) למרחב הדואלי שלו. האיזומורפיזם הזה תלוי בבחירת בסיס, כלומר הוא לא "טבעי" ללא בחירה כזו. בממד אינסופי המצב שונה: תחת אקסיומת הבחירה אפשר לראות ש-V בנוי כסכום ישר של עותקים של השדה, בעוד V^* הוא מכפלה ישרה של אותן עותקים, ולכן לדואל יש מימד גדול יותר.
יש תמיד שיכון טבעי של V לתוך V^{**} (הדו־דואלי). לכל וקטור x מתאים פונקציונאל s_x על V^* הנתון על ידי s_x(f)=f(x). כאשר הממד סופי, השיכון הזה הוא איזומורפיזם.
לכל מרחב ליניארי עם נורמה X מסמנים את כל הפונקציונלים הליניאריים החסומים ב-X^*. "חסום" כאן משמעותו שיש קבוע שמגביה את ערכי הפונקציונל יחסית לנורמה. X^* הוא מרחב בנך (מרחב נאטק) תחת הנורמה האופרטורית. אם קיים איזומורפיזם טבעי בין X וקפיצה שלו X^{**}, קוראים ל-X רפלקסיבי. מרחבי הילברט (מרחבים עם מכפלה פנימית) הם רפלקסיביים לפי משפט ריס (Riesz).
אם {v_i}_{i=1}^n הוא בסיס של V, מגדירים לכל i פונקציונאל f_i כך ש-f_i(v_j)=δ_{i,j} (דלתא של קרונקר). הקבוצה {f_i} היא בסיס של V^* ונקראת הבסיס הדואלי. כשמייצגים וקטור ופונקציונל בקואורדינטות ביחס לבסיסים האלה, הפעולה של הפונקציונל על הווקטור היא מכפלה סקלרית של הווקטורים הקואורדינטות.
משפט אורבך קובע שבמרחב נורמי מממד n אפשר לבחור בסיס של וקטורים בעלי נורמה 1, כך שגם הבסיס הדואלי שלהם יכלול פונקציונלים בעלי נורמה 1. הרעיון בהוכחה הוא לצמצם ל-C^n ולבחור מטריצה שעוצמת הדטרמיננטה שלה מקסימלית על כדור היחידה, ומשם לבנות את הפונקציונלים הדואליים בעזרת יחסי דטרמיננטה.
המרחב הדואלי של מרחב וקטורי V הוא כל הפונקציות הליניאריות מ‑V ל‑F. פונקציה ליניארית היא חוקים שמכבדים חיבור וכפל בסקלר.
אם V קטן (ממד סופי), יש קשר חזק בין V לבין הדואלי שלו. כדי להשוות ביניהם צריך לבחור בסיס. בלי בחירה כזו הם לא תמיד זהים.
יש דרך טבעית לשים כל וקטור x בתוך ה־V^{**}. מסתכלים על הפונקציה שכותבת לכל פונקציונל f את הערך f(x). זו דרך לראות את x בתוך הדואלי של הדואלי.
כשיש נורמה, מדד אורך, בוחרים רק את הפונקציונלים החסומים. אלה פונקציות שלא "קופצות" לערכים גדולים. את הקבוצה הזו קוראים X^*.
אם יש בסיס {v1,...,vn}, מגדירים לכל i פונקציונל fi כך ש‑fi(vj)=1 אם i=j ו‑0 אחרת. הקבוצה {fi} היא הבסיס הדואלי.
אפשר לבחור בסיס של וקטורים עם אורך 1. אז גם הבסיס הדואלי שלהם יהיה עם נורמה 1. ההוכחה משתמשת ברעיון של מקסימום דטרמיננטה לבחירת וקטורים מתאימים.
תגובות גולשים