מרחב דואלי
המרחב הדואלי של מרחב וקטורי V הוא כל הפונקציות הליניאריות מ‑V ל‑F. פונקציה ליניארית היא חוקים שמכבדים חיבור וכפל בסקלר. אם V קטן (ממד סופי), יש קשר חזק בין V לבין הדואלי שלו. כדי להשוות ביניהם צריך לבחור בסיס. בלי בחירה כזו הם לא תמיד זהים. יש דרך טבעית לשים כל וקטור x בתוך ה־V^{**}. מסתכלים על ה...
משפט בנך-אלאוגלו
משפט בנך-אלאוגלו אומר שכדור מיוחד של פונקציות הוא קומפקטי בטופולוגיה חלשה-*. קומפקטי פה אומר שאפשר לכסות אותו עם מעט חלקים. יהי X מרחב נורמי, ו-X* הוא המרחב של כל הפונקציות הליניאריות והרציפות על X. זו קוראים לה המרחב הדואלי. לכל נקודה x ב-X יש בדיקה שמודדת כל פונקציה f על ידי הערך f(x). הטופולוגי...
פונקציונל
פונקציונל הוא פעולה שמקבלת פונקציה ומחזירה מספר. פונקציה של פונקציות אומרת בדיוק את זה: קלט פונקציה, פלט מספר. מרחב נורמי הוא מקום שבו אפשר למדוד "אורך" של איברים. יש קבוצה של כל הפונקציונלים הליניאריים. קבוצה זו נקראת המרחב הדואלי. לפונקציונל יש גודל שנקרא נורמה. אם הגודל הזה סופי אומרים שהוא חסו...
מרחב בנך
מרחב בנך הוא מקום שבו עובדים עם וקטורים. יש בו דרך למדוד אורך של כל וקטור. קוראים למדידה הזו נורמה. "שלם" אומר שרצפים שמתקרבים ממש כן נקבלים למקום הזה. כדור היחידה הוא כל הווקטורים שאורכם לא גדול מ‑1. הכדור הזה קמור וסימטרי סביב 0. יש כמה משפטים חשובים: - משפט שמאפשר להאריך מדידות ליניאריות מתת...
טנזור
טנזור הוא כלי מתמטי שמקבל וקטורים ו"פונקציות שמודדות וקטורים" ומחזיר מספר. פונקציה כזו שנקראת ליניארית היא כזו שמגיבה בצורה פשוטה לחיבור וכפל במספר. טנזור אפשר להציג גם בתור טבלה של מספרים. הטבלה תלויה באופן שבו בוחרים לצייר או למדוד את הצירים, אבל הרעיון מאחורי הטנזור נשאר זהה. מספר בודד (כמו מסה...