טנזור

טנזור הוא אובייקט מתמטי שניתן לחשוב עליו כפונקציה שהיא מולטי-ליניארית, כלומר, היא ליניארית בכל ארגומנט בנפרד. בפיזיקה טנזור מופיע גם כמערך רב־ממדי של מספרים (רכיבים) שמייצגים גודל פיזיקלי. הרכיבים האלה תלויים בבחירת מערכת קואורדינטות, אך הטנזור כמכלול נשאר בעל משמעות עצמאית.

טנזור שמקבל m פונקציונלים (פונקציות ליניאריות שממירות וקטורים למספרים; זה נקרא "מרחב דואלי") ו־k וקטורים נקרא טנזור מדרגה (m,k). בקצרה: דרגה היא מספר האינדקסים הדרושים לייצוג הטנזור.

ברשימה של רכיבים טנזור מתואר על ידי אינדקסים. כאשר עוברים ממערכת קואורדינטות אחת לאחרת הרכיבים משתנים לפי כללים ברורים המבוססים על יעקבי (מטריצת המעבר של הנגזרות החלקיות). אינדקס עליון מתנהג כמו וקטור "קונטרה־וריאנטי" (הקואורדינטות משתנות בצורה הפוכה לבסיס), ואינדקס תחתון כמו וקטור "קו־וריאנטי" (כזה שמתאים לפונקציונלים).

אי אפשר לחבר בין טנזורים מדרגות שונות, למשל, לחבר וקטור למטריצה אינו מוגדר.

טנזורים ידועים מאוד בפיזיקה: סקלר הוא טנזור מדרגה 0 (מספר), וקטור הוא טנזור מדרגה 1, ומטריצה היא טנזור מדרגה 2. טנזור המאמצים (stress tensor) שמתאר לחצים וכוחות פנים בחומר הוא דוגמה שימושית בטכניקה ובהנדסה. גם טנזור התנע-אנרגיה, טנזור השדה האלקטרומגנטי וטנזור העקמומיות של רימן הם טנזורים מרכזיים בפיזיקה.

דוגמה אינטואיטיבית: ספינה במים. כוח הוא וקטור, ותאוצה היא וקטור. יחס ליניארי בין כוח לתאוצה עבור צורת הספינה אפשר לתאר כטנזור שממפה וקטור לווקטור, כלומר מטריצה שממירה כוח לתאוצה.

קיימות שתי גישות עיקריות להבנת טנזורים. הגישה הקלאסית של פיזיקאים ומהנדסים מתבססת על מערכים של רכיבים וכללי התמרה בין קואורדינטות. הגישה המודרנית של המתמטיקאים מגדירה טנזורים באופן מופשט כמפות מולטי־ליניאריות בין מרחבים וקטוריים ולמרחב המספרים. שתי הגישות שקולות ברוב המקרים אך מדגישות אספקטים שונים, רכיבים מול הגדרה מופשטת.

המילה "טנזור" הוצעה לראשונה על ידי ויליאם רואן המילטון בשנת 1846, אם כי המשמעות שלו השתנתה מאז. המובן הנוכחי ניתן במידה רבה על ידי וולדמאר וויגט בשנת 1899. הסימון המודרני פותח בסביבות 1890 על ידי ג'ורג'ו ריצ'י-קורבסטרו, והטקסט של טוליו לוי-צ'יוויטה בשנת 1900 פיצח והפיץ את השיטה. תורת היחסות הכללית של איינשטיין (כ־1915) הפכה את השפה הטנזורית לכלי מרכזי בפיזיקה.

טנזורים מאפשרים לנסח חוקים פיזיקליים בצורה שאינה תלויה במערכת קואורדינטות. התאוריה הטנזורית נובעת מאלגברה ליניארית וממרחבים דואליים, וניתן לבצע על טנזורים פעולות כמו כפל טנזורי, כיווץ (לקיחת עקבה על זוג אינדקסים) ונגזרת קו־וריאנטית, שמייצרות טנזורים חדשים.

טנזור מדרגה 4 במרחב ארבע־ממדי, כמו טנזור העקמומיות של רימן בתורת היחסות, יכול להכיל מספר גדול של רכיבים תאורטיים (למשל 256), אך בדרך כלל רק חלקם בלתי תלויים מתמטית.

טנזור הוא כלי מתמטי שמקבל וקטורים ו"פונקציות שמודדות וקטורים" ומחזיר מספר. פונקציה כזו שנקראת ליניארית היא כזו שמגיבה בצורה פשוטה לחיבור וכפל במספר.

טנזור אפשר להציג גם בתור טבלה של מספרים. הטבלה תלויה באופן שבו בוחרים לצייר או למדוד את הצירים, אבל הרעיון מאחורי הטנזור נשאר זהה.

מספר בודד (כמו מסה) הוא טנזור מדרגה 0. חץ שמייצג מהירות הוא טנזור מדרגה 1, נקרא גם וקטור. טבלה של מספרים (מטריצה) היא טנזור מדרגה 2.

דוגמה לחיים: ספינה במים. כוח הוא חץ. התאוצה של הספינה היא חץ אחר. איך הכוח גורם לתאוצה תלוי בצורת הספינה. יחס ליניארי בין כוח לתאוצה אפשר לתאר כמטריצה, כלומר טנזור שממפה כוח לתאוצה.

עוד דוגמה: בטון או מתכת מפעילים לחצים זה על זה. הכוחות בתוך החומר מתוארים על ידי טנזור שנקרא טנזור מאמצים.

אם משנים את מערכת הצירים (איך מציירים את הצירים), מספרי הטנזור משתנים לפי חוקים ברורים. זה דומה לשינוי רשימת מספרים כשמסובבים את המסגרת שבה מודדים.

המילה "טנזור" הופיעה כבר בשנת 1846 אצל המילטון. המובן שהשתמשו בו היום נוצר מאוחר יותר, סביב 1899. המדע השתמש בטנזורים בצורה נרחבת אחרי תורת היחסות הכללית של איינשטיין.