תרכובת הטרוציקלית
קפאין בנוי משתי טבעות חוברות. תרכובת הטרוציקלית היא חומר בצורת טבעת. בטבעת יש אטומים שאינם פחמן. אטומים כאלה נקראים הטרואטומים. הטרואטומים הנפוצים הם גפרית, חמצן וחנקן. יש תרכובות ארומטיות ויש לא ארומטיות. הטבעת הקטנה ביותר כוללת שלושה אטומים. טבעות שלושה אטומים פחות יציבות כי הקשרים בהן לחוצים. ...
חבורה ציקלית
חבורה ציקלית היא קבוצה שמתקבלת מאיבר אחד בלבד. האיבר הזה נקרא יוצר. כל איבר בחבורה הוא חזרה על אותו יוצר. דוגמה: כל המספרים השלמים עם חיבור יוצרים חבורה. הירידה או העלייה במספרים נעשית על ידי הוספת 1 שוב ושוב. חבורה עם n איברים היא הקבוצה 0 עד n−1 בחיבור שמחזיר רק את השארית. בחבורה יש כמה יוצרים ל...
תחשיב אינדקסים
תחשיב האינדקסים היא שיטה למציאת "לוגריתם בדידי". לוגריתם בדידי אומר כמה פעמים מרימים את המספר α בחזקה כדי לקבל את β. חבורה ציקלית היא קבוצה שבה אלמנט אחד מייצר את כל שאר האיברים על ידי חזקות. המהלך קצר: בוחרים קבוצה קטנה של "גורמי בסיס". אלה הם מספרים קטנים שמשמשים כחלקים לבניית מספרים אחרים. מייצ...
בעיית הלוגריתם הבדיד
בעיית הלוגריתם הבדיד היא למצוא מספר x כך ש-g^x = h בתוך קבוצת מספרים סופית. זה קשה יותר מלוגריתם רגיל. חבורה ציקלית היא קבוצה של איברים שמתקדמים בחזקות. יוצר (פרימיטיבי) הוא איבר שיוצר את כל הקבוצה כאשר מעלים אותו בחזקות. עם המספר הראשוני p=97, יש קבוצה \mathbb{Z}_{97}^*. אם g=5 ו-h=35, אז 5^{32} ...
חבורה אבלית נוצרת סופית
חבורה היא קבוצה עם כלל לחיבור. בחבורה אבלית הסדר לא משנה. חבורות מופיעות בהרבה מקומות במתמטיקה. יש חבורות פשוטות ויש מורכבות. איבר מפותל הוא איבר שעובר לאפס אחרי חיבורו לעצמו מספר פעמים. כל האיברים האלה עושים קבוצה מיוחדת. דרגה היא מספר האיברים הקטנים שצריך כדי ליצור את כל החבורה. המשפט אומר: כל...
חבורת אוילר
חבורת אוילר היא קבוצת מספרים שלא מתחלקים ב-n. עושים בהם כפל ושומרים רק את השארית אחרי חילוק ב-n. את הקבוצה כותבים U_n. אם שני מספרים לא מתחלקים ב-n, גם המכפלה שלהם לא תתחלק ב-n. לכן הקבוצה סגורה לכפל. לכל מספר כזה יש גם מספר אחר שמכפיל אותו ומקבל 1 בשארית. המספר הזה נקרא הופכי. מספר האיברים בקבוצה...
חבורה (מבנה אלגברי)
חבורה היא קבוצה עם פעולה שמחברת שני איברים לאחד. הפעולה היא קיבוצית. קיבוצית פירושו שסדר הקיבוצים לא משנה. יש איבר מיוחד שנקרא יחידה. יחידה לא משנה איבר כשמכפילים. לכל איבר יש הופכי. הופכי הוא איבר שמוחק את ההשפעה. אם הפעולה תמיד מחליפה בין איברים, קוראים לחבורה חילופית או קומוטטיבית. תמורות הן ס...
חבורת סימטריות
חבורת סימטריות היא כל הדרכים להזיז או לסדר משהו מבלי לשנות אותו. פעולה היא שינוי שלא מרוסק את הצורה. כדי לדעת מהן הסימטריות, בודקים רק שינויים שניתן לעשות במרחב שבו האובייקט נמצא. גם צריך להחליט מה בדיוק נשאר אותו דבר. שורה של n דברים: כל סידור שלהם הוא סימטריה. זו חבורה שנקראת הסימטרית. מצולע מש...
דיאזפין
דיאזפין היא טבעת כימית עם שבעה אטומים. 'הטרוציקלית' אומרת שהטבעת כוללת סוגים שונים של אטומים. בתוכה יש שני אטומי חנקן. לפעמים החנקנים נמצאים במקומות 1 ו-4. לפעמים הם במקומות 1 ו-5. אם מחברים לטבעת טבעת בנזן (קבוצת פניל), מקבלים את הבסיס לבנזודיאזפינים. דוגמה לקבוצה כזו היא 1,5-בנזודיאזפינים, כמו קלו...
אלקלואיד
אלקלואידים הם חומרים טבעיים עם אטום חנקן. יש יותר מ‑15,000 מהם. רובם מיוצרים בצמחים. רבים משפיעים על בעלי חיים ובני אדם. חלקם משנים איך הגוף עובד. חלקם מרירים וחלקם רעילים. בחלק גדול מהמקרים החנקן נמצא בתוך "טבעת". טבעת זו היא מעגל של אטומים. צמחים בונים אלקלואידים מחומצות אמינו. חומצות אמינו הן...
אלקטרוכימיה
אלקטרוכימיה בוחנת תגובות שבהן זזים אלקטרונים. אלקטרודה היא חלק מוליך. אלקטרוליט הוא נוזל עם מלחים שמוביל יונים. היא עוזרת לצפות תכשיטים במתכת יפה. משתמשים בה גם בסוללות שמייצרות חשמל. בעזרת אלקטרוכימיה מנקים מים ומחפשים מזהמים. תא גלווני הוא סוג של סוללה קטנה. כשסוגרים את המעגל, אלקטרונים זזים ...
חוג המספרים השלמים
חוג המספרים השלמים הוא קבוצת כל המספרים ...,-2,-1,0,1,2,... . חוג הוא קבוצה שבה עושים חיבור וכפל, והתשובה נשארת בקבוצה. אפשר לבנות את השלמים מהמספרים הטבעיים. מספרים טבעיים הם 1,2,3,... . כשמורידים את הגבול הזה מקבלים גם את השלילים ואת האפס. אם מסתכלים רק על החיבור, השלמים יוצרים חבורה. חבורה היא ...
פירימידין
פירימידין היא מולקולה אורגנית. מולקולה = חלקיק שמורכב מאטומים. לטבעת של פירימידין יש שש פינות. בשתי פינות יש אטומי חנקן. חנקן = יסוד כימי שמוכר מאוויר. פירימידינים דומים לבנזן, אבל עם שני חנקנים במקום פחמנים. חלק מהפירימידינים חשובים בחיים: תימין וציטוזין נמצאים ב‑DNA. אורציל נמצא ב‑RNA. גם ויטמין...
סדר (תורת החבורות)
הסדר של חבורה הוא כמה איברים יש בה. אם יש לה שישה איברים, אומרים שהסדר הוא שש. הסדר של איבר הוא כמה פעמים צריך להכפיל אותו בעצמו עד שתקבל את האיבר המיוחד שנקרא יחידה. אם זה לא קורה אף פעם, אומרים שהסדר אינסופי. חוק חשוב אומר: מספר הפעמים של כל איבר מתאים למספר האיברים בחבורה. לכן אם מכפילים איבר...