אופרטור אוניטרי

אופרטור אוניטרי הוא אופרטור ליניארי, פעולה שמכבדת חיבור והכפלה בסקלר, במרחב בעל מכפלה פנימית (inner product), ומקיים U U^* = U^* U = I. כאן U^* הוא הצמוד ההרמיטי (conjugate transpose) של U, ו-I הוא אופרטור הזהות. עבור מטריצה ריבועית מרוכבת A ההגדרה שקולה: AA^* = I.
אופרטור אוניטרי דומה למספר מרוכב שערכו המוחלט הוא 1, כי מספר כזה z מקיים z·̅z = 1, כש־̅z הוא הצמוד המרוכב.

אופרטור f על V הוא אוניטרי אם הוא שומר את המכפלה הפנימית: ⟨f(u),f(v)⟩ = ⟨u,v⟩ לכל u,v ב־V. מכאן נובע שהוא שומר גם אורכים וזוויות.

אופרטור אוניטרי שומר על אורך וקטורים ועל הזוויות ביניהם. כלומר \|U(x)\| = \|x\| לכל x. הדוגמה המובנת ביותר היא סיבוב או שיקוף של המרחב. שינוי בין שני בסיסים אורתונורמליים נעשה על ידי מטריצה אוניטרית. העמודות של מטריצה אוניטרית מהוות בסיס אורתונורמלי (עמודות שמקבלות את אותו אורך והן ניצבות זו לזו).
במכניקת הקוונטים אופרטורים אוניטריים מייצגים פעולות ששומרות הסתברויות.

כל המטריצות האוניטריות מסתדרות לחבורה תחת כפל מטריצות. הדטרמיננטה נותנת הומומורפיזם לקבוצה S^1, מעגל המספרים המרוכבים שערכם המוחלט הוא 1. הגרעין של ההומומורפיזם הזה הוא קבוצת המטריצות האוניטריות עם דטרמיננטה 1, הנקראות מטריצות אוניטריות מיוחדות (Special Unitary).
חבורות אלה חשובות בתורת השדות ובמודל הסטנדרטי. פיזיקאים כמו יובל נאמן ומארי גל־מן השתמשו ב־SU(3) כדי למיין קווארקים.

מטריצה אוניטרית שמכילה רק מספרים ממשיים היא מטריצה אורתוגונלית. במילים אחרות, מטריצה אורתוגונלית היא המקרה הממשי של אוניטריות. אם A הוא אופרטור הרמיטי (A = A^*), אז U = exp(iA) הוא אוניטרי. למעשה כל אופרטור אוניטרי ניתן להציג בצורה זו.

אופרטור אוניטרי הוא פעולה על וקטורים ששומרת על אורכים וזוויות. וקטור הוא חץ במרחב.
האופרטור הזה עובד על מרחב שבו אפשר למדוד זוויות ואורכים. זו המכפלה הפנימית.

אפשר להגדיר אותו גם כך: אם נמדוד את המכפלה הפנימית בין שני וקטורים, היא לא משתנה אחרי הפעולה.

אופרטור אוניטרי לא משנה את האורך של וקטורים. הוא דומה לסיבוב או לשיקוף. אם מחליפים בין שני בסיסים שנכונים אחד לשני, מטריצת המעבר היא אוניטרית. העמודות שלה הן וקטורים שאורכם אחד וזוויותיהם 90 מעלות.
במכניקה קוונטית הם משמשים כדי לשמור על הסתברויות.

אם מכפילים שתי מטריצות אוניטריות מקבלים שוב מטריצה אוניטרית. הדטרמיננטה שלהן היא מספר שמספרו המוחלט הוא 1. המטריצות עם דטרמיננטה 1 נקראות מיוחדות. מדענים השתמשו בקבוצה הזאת כדי לסדר סוגי קווארקים.

מטריצה אוניטרית שכל המספרים בה הם ממשיים נקראת מטריצה אורתוגונלית. יש גם קשר בין מטריצות הרמיטיות לבין אוניטריות. אפשר לבנות מטריצה אוניטרית מ־A אם A היא הרמיטית.