אינטגרל (מלשון סכום) הוא מושג במתמטיקה, שמהווה הכללה של הרעיון של סכום לאינסוף חלקים קטנים. עבור פונקציה ממשית הוא משמש לחישוב שטח מתחת לגרף, נפח, מסה, אורך מסילה, הסתברות של משתנים רציפים ועוד.
יש שני מושגים עיקריים: אינטגרל מסוים ואינטגרל לא־מסוים. האינטגרל המסוים מחושב על קטע [a,b]. האינטגרל הלא־מסוים הוא אוסף הפונקציות שנגזרתן היא הפונקציה הנתונה; פונקציה כזו נקראת פונקציה קדומה (פונקציה שקיבלה ממנה נגזרת).
המשפט היסודי של החשבון הקושר ביניהם אומר: אם f אינטגרבילית ויש לה פונקציה קדומה F, אז
F(b)-F(a) שווה לאינטגרל המסוים
over [a,b]. כלומר, אינטגרל מסוים ניתן לחישוב דרך פונקציה קדומה.
האינטגרל מסומן על ידי הסימן ∫, שהגיע מ־S של המילה הלטינית "summa" (סכום). בתוך האינטגרל מופיע האינטגרנד, כלומר הביטוי שנאינטגרל ולצידו משתנה האינטגרציה dx.
גאומטרית, האינטגרל המסוים מעל קטע [a,b] הוא השטח בין גרף הפונקציה לציר ה־x. כשחלקים של השטח נמצאים מתחת לציר ה־x הם נחשבים עם סימן שלילי.
הגדרה פורמלית נעשית באמצעות קירוב במלבנים. סך השטחים של המלבנים קרוב לשטח האמיתי ככל שמקטינים את רוחב המלבנים. סכומי רימן הם סכומים כאלה: בוחרים חלוקה של הקטע ונקודה בכל תת־קטע, ומחשבים
\sigma =
tab
sum f(ℓ_i)·|x_i-x_{i-1}|. אם הגבול של סכומי רימן כשקוטר החלוקה שואף לאפס קיים, הפונקציה אינטגרבילית לפי רימן.
גישה מקבילה משתמשת בסכומי דארבו: בכל תת־קטע מחשבים חסם עליון וחסם תחתון של f ומקבלים סכום עליון וסכום תחתון. אם החסם העליון והחסם התחתון מתקרבים אחד לשני בתהליך העידון, הפונקציה אינטגרבילית.
רימן היה הראשון שהגדיר את האינטגרל המסוים באופן פורמלי. מאז הוצעו הכללות רבות למרחבים ולסוגי ערכים שונים.
חלוקה של הקטע [a,b] היא סדרת נקודות שמחלקת אותו לתת־קטעים. הקוטר של החלוקה הוא המקסימום של אורכי התת־קטעים. חלוקה מסומנת כוללת בחירה של נקודה בכל תת־קטע. סכום רימן הוא סכום המלבנים המבוסס על נקודות אלה.
פונקציות רציפות ואפילו מונוטוניות על קטע סגור הן אינטגרביליות. משפט לבג אומר שפונקציה חסומה אינטגרבילית לפי רימן אם ורק אם קבוצת נקודות אי־הרציפות שלה היא בעלת מידה אפס (קבוצה זעירה מבחינת מידה).
האינטגרל ליניארי: סכום והכפלה בסקלר שומרים על אינטגרביליות, והאינטגרל של צעד־קומבינציה הוא הצירוף של האינטגרלים. אינטגרל גם מונוטוני ביחס לפונקציות.
האינטגרל הלא־מסוים מוגדר כאוסף הפונקציות הקדומות של f:
\int f(x)dx = F(x) + C. כאן C הוא קבוע שרירותי. הקשר בין האינטגרלים נובע מהמשפט היסודי:
\int_a^b f(x)dx = F(b)-F(a).
למציאת אינטגרל לא־מסוים משתמשים בחוקים ושיטות אינטגרציה, כמו החלפת משתנים ואינטגרציה בחלקים. אין מתכון אחד שעובד תמיד.
האינטגרל משמש לחישוב שטח, נפח של גוף סיבוב, אורך עקומה, שטח פנים, וממוצע ערכים של פונקציה. דוגמאות:
- שטח בין הפונקציה לציר x:
\int_a^b f(x)dx.
- אורך גרף נגזרת־רציפה:
\int_a^b √{1+(f'(x))^2}dx.
- נפח גוף סיבוב סביב ציר x:
π\int_a^b (f(x))^2 dx.
עוד שימושים מופיעים בפיזיקה ובסטטיסטיקה: מסה, אנרגיה, כוח והסתברות.
אינטגרל לבג הוא הרחבה של אינטגרל רימן. הוא מבוסס על מידת לבג ומאפשר אינטגרציה של פונקציות מדידות רבות יותר. יש גם אינטגרלים כמו רימן־סטילטיס ולבג־סטילטיס, שמתאימים למצבים שבהם האינטגרציה נעשית ביחס לפונקציה אחרת.
ארכימדס השתמש ברעיון דומה לשיטת המיצוי. במאה ה־17 ניסחו ניוטון ולייבניץ את החשבון האינפיניטסימלי; לייבניץ המציא את הסימון ∫. במאה ה־19 קושי ורימן נתנו הגדרות פורמליות לאינטגרל. מאוחר יותר לבג הרחיב את המושג.
ישנן נוסחאות בסיסיות לאינטגרלים של פונקציות אלמנטריות, וכללים כמו אינטגרציה של סכום, הכפלה בסקלר והחלפת משתנים. דוגמא בולטת:
\int 2x\,dx = x^2 + C.
אינטגרל אומר לסכום כמה חלקים קטנים של משהו. אפשר לחשוב עליו כמו חיבור של מלבנים דקים מתחת לעקומה.
אינטגרל מסוים מחשב שטח בין העקומה לציר x על קטע בין a ל־b. אם השטח מתחת לציר הוא שלילי, מסמנים אותו בסימן פחות.
אינטגרל לא־מסוים הוא כמו המשפחה של כל הפונקציות שהנגזרת שלהן היא הפונקציה הנתונה. פונקציה כזו נקראת פונקציה קדומה.
חולקים את הקטע להרבה תת־קטעים. בכל תת־קטע עושים מלבן קטן. סכום שטחי המלבנים מתקרב לשטח האמיתי כשעושים את המלבנים קטנים יותר. סכומים כאלה נקראים סכומי רימן.
האינטגרל עוזר לחשב:
- שטח מתחת לעקומה
- נפח של גוף שמסתובב
- אורך של עקומה
- ממוצע של פונקציה
בנוסף משתמשים בו בפיזיקה ובסטטיסטיקה.
מסמנים אינטגרל ב־∫. לייבניץ המציא את הסימון הזה מהמילה הלטינית "summa" שמשמעותה סכום. ארכימדס עשה רעיון דומה כבר לפני אלפי שנים. אחר כך ניוטון ולייבניץ פיתחו את החשבון.
קיים גם אינטגרל שנקרא אינטגרל לבג. הוא מאפשר לחשב אינטגרלים של פונקציות מסובכות יותר מאלה שרימן יכול לטפל בהן.
תגובות גולשים