כלל לייבניץ לנגזרת מכפלה
כלל לייבניץ נקרא גם כלל המכפלה. הוא עוזר למצוא את הנגזרת של מכפלת פונקציות. נגזרת היא מדד לשינוי. הכלל הפשוט: (f·g)' = f' g + f g' זה אומר: נגזרים פעם אחת את הפונקציה הראשונה ומשאירים את השנייה, ואז נחבר את זה עם ההיפך. ממחשבים את הגבול שמגדיר נגזרת. מפצלים את ההפרש לשתי חלקים. כל חלק נותן אחד מהח...
מונאדה (לייבניץ)
מוֹנָאדָה (מוֹנָס, יחידה) היא רעיון של הפילוסוף גוטפריד וילהלם לייבניץ. מונאדה היא חלק קטן שלא חומרי. היא לא ניתנת לחלוקה. דקארט, פילוסוף קודם, אמר שחומר הוא משהו שמתפשט במרחב. לייבניץ שאל: אם מחלקים חומר בלי סוף, נותרות רק נקודות בלי נפח. לכן הוא אמר שהיחידות הראשוניות אינן חומריות. הוא קרא להן מו...
גוטפריד וילהלם לייבניץ
גוטפריד פון לייבניץ נולד ב‑1646 בגרמניה. הוא למד מתמטיקה, פילוסופיה והמציא דברים. הוא עבד על החשבון, דרך מיוחדת לחישוב דברים מתמשכים. היום קוראים לזה "קלקולוס". הוא המציא סימנים שעוזרים לפתור בעיות במספרים. הוא בנה מכונה חישובית שקראה מחשב הפסיעות. זה היה כמו מחשב מכני שעזר בחישובים. הוא גם חשב ב...
אופטימיות
עם הכיתוב "עדיין אופטימי" במהלך מלחמת חרבות ברזל הופיע שלט ביום ה-666 לשחרור החטופים. עוד שלט קרא "אופטימיות ישראלית" על מגדל שנפגע. אופטימיות היא אמונה שהדברים יסתדרו בסוף. מילה קשה: קוגניטיבי, זה קשור לדרך החשיבה. אנשים אופטימיים מצפים לטוב ולומדים מהטעויות. מחקרים מראים שאופטימיים מסתדרים טוב ...
S ארוכה
S ארוכה היא צורה ישנה של האות s. היא נכתבה כך: ſ. צורה זו שימשה בתחילת המילה או באמצע המילה. ה-ſ דומה ל־f ולעיתים אנשים בלבלו בינה לבין ה־f. הקו הקטן באמצע שלה נוצר כשכתבנו בעט-נוצה. בצורתה הנטויה ה-ſ יורדת מתחת לשורה. האות הפסיקה לשמש בתחילת המאה ה-19. גם חיבורים של אותיות עם ſ כמו ſs נעלמו. בגרמ...
נגזרת כיוונית
הנגזרת הכיוונית אומרת כמה פונקציה משתנה כשננוע בכיוון של חץ (וקטור). וקטור הוא חץ שמראה כיוון ואורך. לוקחים נקודה x ומוסיפים מעט מהווקטור v, ובודקים את השינוי של הפונקציה ואז מחלקים בגודל התנועה. האורך של הווקטור נקרא נורמה. אם הגבול הזה קיים, אז הפונקציה גזירה בכיוון הזה. הנגזרת בכיוון שומרת על חי...
אינטגרל
אינטגרל אומר לסכום כמה חלקים קטנים של משהו. אפשר לחשוב עליו כמו חיבור של מלבנים דקים מתחת לעקומה. אינטגרל מסוים מחשב שטח בין העקומה לציר x על קטע בין a ל־b. אם השטח מתחת לציר הוא שלילי, מסמנים אותו בסימן פחות. אינטגרל לא־מסוים הוא כמו המשפחה של כל הפונקציות שהנגזרת שלהן היא הפונקציה הנתונה. פונק...
חשבון אינפיניטסימלי
חשבון אינפיניטסימלי הוא חלק במתמטיקה שעוסק בשינוי. רעיון חשוב הוא גבול. גבול זה אומר שהמספר מתקרב אליו יותר ויותר. החשבון נחלק לשתי חלקים: חישוב נגזרות וחישוב אינטגרלים. נגזרת היא קצב השינוי. אינטגרל הוא סכום גדול, לעתים שטח מתחת לעקומה. המשפט היסודי אומר שאם עושים נגזרת ואחר כך אינטגרל חוזרים למ...
בסיס בינארי
בסיס בינארי הוא דרך לכתוב מספרים בעזרת שתי סימנים בלבד. הסימנים הם 0 ו-1. כל ספרה בבינארי אומרת כמה פעמים להשתמש בחזקה של 2. רעיון דומה לבינארי היה בתקופות עתיקות. בחלק מהשיטות השתמשו בקווים קצרים וארוכים. לייבניץ, מדען לפני הרבה שנים, כתב את הבינארי כמו שאנחנו מכירים היום. ג'ורג' בול המציא את הלוג...
אינפיניטסימל
אינפיניטסימל (גודל קטן מאוד) הוא מספר או אורך זעיר מאוד. במחשבה יומיומית זה משהו שקשה למדוד. ארכימדס דיבר על רעיונות של דברים זעירים לפני אלפי שנים. גם מתמטיקאים בהודו חשבו על זה. במאה ה-17 מדענים כמו ניוטון ולייבניץ השתמשו ברעיונות אלה כדי למצוא מהירות ושטח. ברקלי ביקר את השימוש והחליט שזה לא ברו...
המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי
המשפט היסודי מחבר בין אינטגרל לנגזרת. נגזרת היא כמה משהו משתנה. אינטגרל הוא השטח או סכום מתחת לעקומה. אם בונים F(x)=\int_a^x f(t)\,dt, אז נגזרת F שווה ל‑f שם ש‑f רציפה. זה אומר שאם יודעים אנטי‑נגזרת של f, אפשר לחשב את השטח בין a ל‑b בקלות בעזרת F(b)-F(a). השטח שונה מעט כשמשנים את x קצת. השינוי הזה...
מבחני התכנסות לטורים
טור אינסופי הוא סכום של הרבה מאוד מספרים. לעתים אין סוף ואנחנו רוצים לדעת אם הסכום מגיע למספר קבוע בסוף. אם האיברים של הטור לא שואפים לאפס אז הטור לא יתכנס. אם כל האיברים חיוביים, הסכום רק גדל. אם הוא לא מפסיק לגדול, הטור מתבדר. משווים טור לטור ידוע. אם הטור הידוע מתכנס והאיברים של הטור הנבדק...
דילמת אותיפרון
זו שאלה בפילוסופיה מתוך דיאלוג של אפלטון. סוקרטס שואל: האם משהו טוב כי האל אמר כך, או שהאל אומר כך כי זה כבר טוב? אותיפרון אומר שחסידות (חסידות = מעשים טובים וצייתנות לאלים) היא מה שכל האלים אוהבים. סוקרטס שואל אם זה בגלל שהמעשה טוב בפני עצמו, או בגלל שהאל אוהב אותו. זה יוצר בעיה: האהבה של האלים ...
קנדיד
קנדיד הוא סיפור קצר מצחיק מאת וולטר. (סאטירה = צחוק שמראה על בעיות אמיתיות.) הגיבור קנדיד לומד מאת מורהו פנגלוס לאמץ אופטימיות. (אופטימיות = האמונה שהכל בסדר.) פתאום הוא יוצא לעולם. הוא רואה אסונות, כמו רעידת אדמה בליסבון, וחוויות קשות בזמן מלחמה. קנדיד מבין שהאמונה הפשוטה לא מספיקה. הסיפור נוסע מ...
המרחב המשיק
מרחב משיק הוא אוסף הכיוונים שאפשר ללכת בהם בנקודה על יריעה חלקה. יריעה היא משטח חלק שיכול להיות מעוקם. ווקטור משיק אפשר לתאר כאופן שבו פונקציה משתנה כשזזים בנקודה. הפעלת וקטור משיק על פונקציה נותנת מספר. יש כלל חשוב שנקרא כלל לייבניץ. הוא אומר איך הווקטור מפעיל את עצמו על מכפלת פונקציות. לפי כלל...
פירוק לשברים חלקיים
פירוק לשברים חלקיים מפצל שבר גדול לשברים קטנים ופשוטים. שבר כזה הוא יחס בין שני פולינומים. פולינום הוא סכום של חזקות של x. מראש מפצלים את המכנה לחלקים קטנים שאי אפשר לפרק עוד. אחר כך כותבים את השבר כסכום של חלקים שכל אחד מהם קל יותר. השבר (x+3) על (x^2-3x-40). מכפילים ומוצאים שהמכנה שווה ל-(x-8)(x...
רציונליזם
רציונליזם =שכלתנות= אומר שהמוח וההיגיון חשובים כדי לדעת דברים. לא תמיד צריך לראות או להרגיש כדי לדעת. אינטואיציה-דדוקציה: אינטואיציה היא ידיעה פנימית. דדוקציה היא להסיק מסקנות בלוגיקה. ידע כזה נקרא א-פריורי, ידע בלי ניסיון חושים. ידע מולד: יש הטוענים שאנו נולדים עם ידע מסוים בתוך הנפש. מושגים מולד...
היסטוריה של הרעיונות
היסטוריה של הרעיונות בוחנת איך רעיונות משתנים בזמן. רעיון יכול לחזור בצורות שונות. ארתור לבג'ויי קרא לתחום הזה בתחילת המאה ה-20. הוא עבד באוניברסיטה ג'ונס הופקינס. כתב ספר בשם "שרשרת ההוויה הגדולה". שם הוא עקב אחרי רעיון מהש Greeks (אפלטון ואריסטו) עד לימינו. לבג'ויי מדבר על "יחידת-רעיון". יחידת-...
הטיעון הקוסמולוגי
הטיעון הקוסמולוגי הוא רעיון שמנסה להסביר למה היקום קיים. (הסבר: טיעון שמחפש סיבה לקיום היקום.) תומאס אקווינאס אמר שיש דבר ראשון שגרם לעולם. הוא קרא לו אלוהים. (סיבה ראשונית = הסיבה הראשונה שלא נגרמה על ידי משהו אחר.) אבן סינא חילק דברים לשני סוגים. "אפשרי המציאות" זה דבר שאפשר לחשוב עליו בלי שיהיה...
יוהאן ברנולי
יוהאן ברנולי נולד בבזל ב-1667 ומת בשנת 1748. הוא היה מתמטיקאי מפורסם מתוך משפחה של מתמטיקאים. הוא למד רפואה בהתחלה אבל אהב מתמטיקה יותר. הוא למד אצל אחיו יאקוב והחל לפרסם עבודות במתמטיקה. ברנולי עבד על "חשבון אינפיניטסימלי". זאת שיטה במתמטיקה שחוקרת שינויים מאוד קטנים. ב-1696 הציג בעיה מפורסמת בש...
כריסטיאן גולדבך
כריסטיאן גולדבך נולד ב-18 במרץ 1690 ונפטר ב-20 בנובמבר 1764. הוא היה מתמטיקאי מפרוסיה. הוא ידוע בגלל השערה שלא הוכחה. השערה היא רעיון שאולי נכון, אבל לא הוכח. ההשערה שייכת לתורת המספרים. תורת המספרים חוקרת מספרים. גולדבך נולד בקניגסברג כבנו של כומר. הוא למד משפטים ומתמטיקה וניסע ברחבי אירופה. פגש ...
חוק הזהות
החוק אומר שכל דבר זהה לעצמו. זה נכתב גם כך: a=a. (זה סימון פשוט.) המילה 'לוגיקה' כאן פירושה חשיבה נכונה. המילה 'מטפיזיקה' פירושה חקר מה קיים. פילוסופים מפורסמים כמו אריסטו ולייבניץ דיברו על הרעיון הזה. אריסטו אמר שהרעיון ברור, אבל לא כתב אותו כעיקרון נפרד. השאלות החשובות הן: אילו תכונות עושות משהו ל...