אינטרפולציה

אינטרפולציה היא קבוצה של שיטות באנליזה נומרית שמייצרות מידע חדש מתוך סדרת נתונים סופית.

העיקר הוא לבנות פונקציה שמקבלת ערכים ידועים בנקודות מסוימות ומניבה ערכים משוערים בנקודות אחרות. שימושים אופייניים הם בהנדסה ובפיזיקה, למשל כשמדדים מיקום של גוף כל 5 שניות במשך דקה ומבקשים לדעת את מיקומו בזמן כלשהו באמצע.

בהינתן סדרת "צמתים" (nodes) x_k וערכי יעד y_k, פונקציה f שמקיימת f(x_i)=y_i לכל i נקראת אינטרפולציה של הנקודות.

אם יש שש נקודות מדידה ונרצה את הערך ב־x=2.5, נשתמש באינטרפולציה כדי להעריך אותו על בסיס הנתונים.

לפני בחירת שיטה יש לשקול כמה פרמטרים: עד כמה הפונקציה צריכה להיות חלקה, כמה נקודות יש, כמה דיוק דרוש וכמה כוח חישוב זמין. לכל שיטה יש יתרונות וחסרונות; חשוב לבדוק גם את הטעות שנוצרת על ידי האינטרפולציה.

זו השיטה הפשוטה ביותר. מחברים בקו ישר בין כל שתי נקודות עוקבות. השיטה קלה לחישוב, אך בדרך כלל פחות מדויקת. קשה להבחין בהבדל בתוצאה עם נתונים חלקים, והיא אינה גזירה בנקודות הצמתים, כלומר המדרון משתנה בפתאומיות בנקודות המדידה.

לכל קבוצה של n נקודות קיימת פולינום יחיד ממעלה לא גבוהה מ־n-1 שעובר דרך כל הנקודות. כך ניתן לקבל עקום חלק שמסתדר עם הנתונים.

בשיטת לגראנז' בונים פולינום בעזרת פולינומי בסיס P_j. כל P_j מוגדר כמכפלה שלא כוללת את x_j, והוא שווה 1 ב־x_j ו־0 בשאר הצמתים. הפולינום הכולל הוא סכום של y_j כפול P_j, וכך מתקבל עקום שעובר דרך כל הנקודות.

שיטה נוספת בונה את הפולינום בצורה הדרגתית. משתמשים ב'פרש מחולק' (divided difference), ערכים מחושבים מהנתונים בשיטה רקורסיבית. צורת ניוטון דורשת פחות חישובים בפועל ונוחה להוספת נקודה חדשה בלי לבנות הכל מחדש. גם היא מניבה את אותו פולינום כמו לגראנז', אך לעתים היא יציבה ויעילה יותר ממבחינת חישובים ומעגלי עיגול.

אינטרפולציה היא דרך לנחש ערכים שביניהם יש מדידות. ("צמתים" זה שמם של נקודות המדידה.)

אם מדדו מיקום כל חמש שניות, אפשר בעזרת אינטרפולציה לדעת איפה היה הגוף באמצע הזמן.

פונקציה שעוברת בדיוק דרך כל נקודת מדידה נקראת אינטרפולציה.

יש שישה נקודות. רוצים לדעת את הערך ב־x=2.5. אינטרפולציה עוזרת לנחש אותו.

שיטה פשוטה שמחברת כל שתי נקודות בקו ישר. זה קל לחשב. התוצאה לא תמיד חלקה.

אפשר גם למצוא עקום (פולינום) שעובר דרך כל הנקודות. לעתים העקום חלק יותר.

שיטה שמבנית עקום משלל "פולינומי בסיס". כל פולינום כזה שווה 1 בנקודה אחת ו־0 בשאר. מסכמים אותם עם הערכים כדי לקבל את העקום.

שיטה בונה את העקום שלב אחרי שלב. מחשבים מספרים מיוחדים מהנתונים שנקראים "פרשי מחולק". קל להוסיף נקודה חדשה בשיטה זו בלי להתחיל מהתחלה.