אלגברה ליניארית

אלגברה ליניארית

אלגברה ליניארית עוסקת במשוואות ופונקציות פשוטות יחסית: משוואות שבהן כל יחס בין משתנים הוא ליניארי (כלומר כל איבר מוכפל במקדם ואז מסוכם). פתרונות המשוואות הללו נכתבים כוקטורים, סדרות של מספרים, והם יוצרים מרחבים וקטוריים, קבוצות של וקטורים שסגורות לחיבור ולכפל בסקלר (מספר שנקרא סקלר).


הרעיונות הראשונים הגיעו כבר במאה ה-17. דקארט (Descartes) חיבר בין גאומטריה למספרים בעזרת מערכת צירים. לייבניץ השתמש ברעיון הדטרמיננטה כדי לפתור מערכות. גאוס פיתח את שיטת החיסול שלו לפתרון מערכות. במאה ה-19 נולדו רעיונות מודרניים יותר: גרסמן, המילטון וקיילי תרמו למושגי וקטור ומטריצה.



שדה הוא אוסף של "מספרים" עם חיבור וכפל שמקיימים חוקים מסוימים. איברי השדה נקראים סקלרים. דוגמאות נפוצות הן המספרים הממשיים והמספרים המרוכבים.


מערכת ליניארית מורכבת מכמה משוואות שבהן כל משתנה מופיע בקירוב ככפולה של מקדמים. הפתרון הוא וקטור (x_1, x_2, ..., x_n) שמקיים את כל המשוואות בו-זמנית. מערכת הומוגנית היא מערכת שבה כל האיברים החופשיים הם 0.


שתי מערכות נקראות שקולות אם יש להן את אותם פתרונות. אפשר להפוך מערכת לשורה מדורגת קנונית על ידי פעולות שורה (שינוי סדר שורות, כפל שורה בסקלר שונה מ-0, והוספת כפל של שורה לאחרת). שיטת דירוג כזו מובילה להחלטה אם למערכת יש 0, 1 או אינסוף פתרונות.


המרחב F^n הוא אוסף כל הוקטורים שאורכם n עם רכיבים מהשדה F. מרחב וקטורי כללי הוא קבוצה שמוגדרת עם פעולות חיבור וכפל בסקלר ומקיימת את אותם החוקים. תת-מרחב הוא קבוצה שמסוגלת להכיל סכומים וכפל בסקלר של האלמנטים שבה.


צירוף ליניארי של וקטורים הוא סכום של וקטורים מוכפלים בסקלרים. ה-span (הפרישה) של אוסף וקטורים הוא כל הווקטורים שניתן להשיג בעזרת צירופים כאלה. סדרה נקראת בלתי תלויה ליניארית אם הדרך היחידה להציג את הווקטור האפס כצירוף שלה היא עם כל המקדמים אפס. בסיס הוא סדרת וקטורים בלתי תלויה שמפרשת את כל המרחב. מספר הווקטורים בבסיס הוא הממד של המרחב.


העתקה ליניארית היא פונקציה בין מרחבים וקטוריים ששומרת על חיבור וכפל בסקלר. לדוגמה T(v+u)=T(v)+T(u) ו-T(λv)=λT(v). לגרעין ההעתקה (כל הווקטורים שנשלחים לאפס) ולתמונה שלה (כל הווקטורים שמתקבלים) יש משמעות חשובה. משפט הממדים קושר ביניהם: ממד התמונה ועוד ממד הגרעין שווים לממד המרחב המקורי.


מטריצה היא טבלה של מספרים שמייצגת מערכת משוואות או העתקה ליניארית ביחס לבסיסים נתונים. כפל מטריצות מדמה ההרכבה של העתקות. שתי מטריצות ריבועיות נקראות דומות אם הן מייצגות את אותה העתקה בבסיסים שונים.


הדטרמיננטה היא ערך שמקושרת למטריצה ריבועית. מבחינה גאומטרית היא נותנת "נפח מכווין" של המקבילון שנוצר מהשורות או העמודות של המטריצה. מטריצה הפיכה (יש לה הופכי) אם ורק אם הדטרמיננטה שלה שונה מאפס.


המבנים המתקדמים כוללים את המרחב הדואלי, אוסף ההעתקות מ-V לשדה F, ואת מרחב המנה V/W, שמגדיר איברים כשכנות של תתי-מרחב. טנזורים נוצרים ממכפלות טנזוריות של מרחבים והם כלים לייצוג פונקציות רבי-משתנים ליניאריות.


וקטור עצמי הוא וקטור ששיכפולו על ידי העתקה ליניארית מפיק אותו לפי מספר קבוע, שנקרא ערך עצמי: T(x)=λx. אם יש בסיס של וקטורים עצמיים ההעתקה נקראת לכסינה, וזה מפשט חישובים.


תבנית היא פונקציה שלוקחת וקטורים ומחזירה סקלר. תבנית ביליניארית היא ליניארית בכל משתנה בנפרד. תבניות ריבועיות מתקבלות על ידי קיבוץ שני כניסות של תבנית ביליניארית.


מכפלה פנימית נותנת דרך למדוד אורכים וזוויות במרחב וקטורי. במרחב הממשי היא סימטרית; במרחב המרוכב היא הרמיטית (כוללת הצמדה). אי-שוויון קושי-שוורץ מתקיים בכל מרחב כזה.


אלגברה ליניארית חשובה מאוד במתמטיקה ובמדעים. היא משמשת בגאומטריה, באנליזה, בתורת ההסתברות, במדע הנתונים ולמידת מכונה. מטריצות וטנזורים מופיעים בגרפיקה ממוחשבת, בעיבוד אותות ובפיזיקה, ובפרט במכניקת הקוונטים שבה המצבים הם וקטורים במרחב הילברט.

העיקרון המנחה הוא שפעמים רבות בעיות מורכבות ניתנות לקירוב או להפשטה בעזרת מבנים ליניאריים, מה שהופך אלגברה ליניארית לכלי ראשון במעלה לפתרון בעיות.

אלגברה ליניארית

אלגברה ליניארית עוסקת במשוואות פשוטות שבהן המשתנים עומדים בקו ישר ביחס למספרים. וקטור זה רשימה של מספרים. מקובל לכתוב וקטור כ-(x1,x2,...).


העבודה החלה כבר לפני מאות שנים. דקארט נתן דרך לציין נקודות עם זוג מספרים. מאוחר יותר גאוס המציא שיטה לפתרון משוואות.



שדה הוא סוג של "מספרים" שאפשר לחבר ולכפול שם. דוגמה: המספרים הממשיים.


זוהי קבוצת משוואות שבהן כל חלק הוא מספר כפול של משתנה. פתרון הוא וקטור שמקיים את כל המשוואות.


מרחב וקטורי הוא קבוצה של וקטורים שאפשר לחבר ולכפול במספרים. תת-מרחב הוא חלק כזה שסגור לסכימה וכפל.


בסיס הוא אוסף קטן של וקטורים שמרכיב מהם כל וקטור במרחב. מספר הווקטורים בבסיס נקרא הממד.


מטריצה היא טבלה של מספרים. מטריצה מייצגת מערכת משוואות או פונקציה שממפה וקטורים לוקטורים.


דטרמיננטה היא מספר שמקושרת למטריצה. היא יכולה להגיד אם המטריצה הפיכה, כלומר אם אפשר לפתור משוואות בקלות.


וקטור עצמי הוא וקטור שמשתנה רק בגודל כאשר מפעילים עליו העתקה. המספר שמגדיל או מקטין אותו נקרא ערך עצמי.


אלגברה ליניארית חשובה במדע ובטכנולוגיה. היא עוזרת בגרפיקה במחשב, בעיבוד תמונות, בלמידת מכונה ובפיזיקה. במחשוב קוונטי משתמשים בוקטורים כדי לתאר מצבים.

בסיסי: אלגברה ליניארית עוזרת לקחת בעיות גדולות ולפשט אותן בעזרת וקטורים ומטריצות.