אלומה (מתמטיקה)

במתמטיקה, אלומה (בצרפתית: Faisceau, באנגלית: Sheaf) מרכזת מידע מקומי על מרחב טופולוגי X.
לאלומה מ׳קקשת שןפקדיית U ניתנתים הקרות תקרינים נוספים \,\mathcal{F}(U) (לדוגמא: קבוצות, חבורות, חוגים).
האקסיומות מבטיחות שהמידע המקומי יהיה מאורגן ומתואם.

קדם אלומה הוא מיפוי המתאים לכל פתוח U חוג \mathcal{F}(U), יחד עם מפות צמצום שמקשרות בין הקבוצות.
יש מפות צמצום res_{U,V} כש-V\subseteq U, והן נאותות באופן טבעי (זהות לצמצום ל-U עצמי ועוד חוק קומפוזיציה).

אם יש כיסוי פתוח \{U_i\} ולכל U_i חתך f_i שמסתדר עם השכנים על החתכים, אז קיים חתך יחיד גלובלי f על\ U=\bigcup U_i שמצמצם ל-f_i.
קדם אלומה שמקיימת את ההדבקה היא אלומה אמיתית.

חתך הוא איבר s\in\mathcal{F}(U). חתך מעל X נקרא חתך גלובלי.

- אוסף הפונקציות הרציפות על כל פתוח U הוא אלומה. הצמצום הוא צמצום התחום של פונקציה.
- אוסף הפונקציות החלקות (smooth) הוא גם אלומה.
- פונקציות אנליטיות וחתכים של אגד וקטורי מספקים עוד דוגמאות חשובות.
- האלומה הקבועה R נותנת לכל פתוח פונקציות קבועות בערכים ב-R.

הנבט (stalk) \mathcal{F}_x בנקודה x אוסף את כל המידע של האלומה סביב הנקודה.
איבר בנבט הוא מחלקת שקילות של זוגים (s,U) כאשר x\in U. שני זוגות שקולים אם הם שווים על סביבת x משותפת.
הנבט מספק מידע מקומי, אך לפעמים הוא גם מייצג מידע גלובלי (למשל בפונקציות אנליטיות).

הומומורפיזם \phi:\mathcal{G}\to\mathcal{F} הוא משפחה של מפות \phi(U):\mathcal{G}(U)\to\mathcal{F}(U) המתאימות לצמצומים.
כל הומומורפיזם גורר הומומורפיזם על הנבטים \phi_x:\mathcal{G}_x\to\mathcal{F}_x.

מורפיזם של אלומות נקרא חד-חד-ערכי אם לכל נקודה x קיים פתוח V סביב x כך ש-\phi(V) חד-חד-ערכית.
ניתן להראות שזה שקול לחד-חד-ערכיות על כל קבוצת פתוחה.

מורפיזם נקרא על אם לכל נקודה x וקבוצה פתוחה U סביב x יש פתוח V\subseteq U כך ש-\phi(V) על.
חשוב: זהו תנאי מקומי, ולא תמיד נכון עבור כל U גלובלי.

איזומורפיזם הוא הומומורפיזם שהוא גם חד-חד-ערכי וגם על. אז גם הנבטים מקבלים איזומורפיזמים.

אם \mathcal{A} היא אלומה של חוגים, אז אלומה של חבורות אבליות \mathcal{M} היא מודול מעל \mathcal{A} אם לכל פתוח U החוג \mathcal{A}(U) פועל על \mathcal{M}(U) באופן שמתאים לצמצומים.

אלומות הופיעו בליבם של נושאים כמו המשכה אנליטית של פונקציות מורכבות.
הן הפכו לכלי מרכזי בגאומטריה האלגברית המודרנית: סכמות מוגדרות באמצעות אלומות.
אלומות חשובות גם בטופולוגיה ובגאומטריה דיפרנציאלית.

בדוגמה בסיסית, מתחילים עם חוג A ומבינים את הספקטרום שלו כמרחב שמצויד באלומת מבנה.
לפי משפטים מרכזיים (כמו משפטי סר), קטגוריית המודולים מעל אלומת המבנה קשורה מאוד לקטגוריית המודולים מעל A.
ניתן לחזור על הבנייה גם במצב הפרויקטיבי לאידיאלים הומוגניים.

במצבים לא קומוטטיביים אין תמיד מרחב טופולוגי מתאים. מפעילים במקום זאת קטגוריות שמחליפות את קטגוריית האלומות.
כך מגדירים אנלוגיות של ספקטרום פרויקטיבי וחפצים שאפשר לראות בעיניהם כ"עקומים לא קומוטטיביים".

אלומה \mathcal{F} על מרחב מחויג X היא חופשית באופן מקומי אם לכל נקודה p יש סביבה U כך ש-\mathcal{F}|_U חופשית כ-\mathcal{O}_X-מודול.
כאן \mathcal{O}_X היא אלומת המבנה של X.

אלומה היא דרך לשמור מידע מקומי על מקום מתמטי שנקרא מרחב.
מרחב הוא רעיון למקום שבו יש נקודות ופתחים.
לכל חלק פתוח U נשמור אוסף של דברים שנקראים חתכים.

קדם אלומה נותנת לכל חלק פתוח U אוסף ותכונות צמצום.
צמצום אומר לקחת את אותו דבר על חלק קטן יותר.

אם לכוסיות של החלק הפתוח יש חתכים שמתאימים זו לזו בחיבורים,
אז אפשר "להדביק" אותם וליצור חתך אחד על כל החלק.

חתך הוא איבר באוסף שמקושרת ל-U. חתך על כל המרחב הוא גלובלי.

- כל הפונקציות הרציפות על חלק פתוח בונות אלומה. פונקציה רציפה היא דבר שמתנהג יפה.
- פונקציות חלקות ופונקציות אנליטיות גם הן דוגמאות.
- אם יש אגד וקטורי, החתכים של האגד יוצרים אלומה.
- האלומה הקבועה נותנת ערכים קבועים בכל חלק פתוח.

נבט (stalk) סביב נקודה x בודק רק מה קורה ליד הנקודה.
נבט בונה איברים מתוך זוגות (משהו, חלק פתוח) שמכילים את x.
שניים שווים אם הם זהים על סביבת x קטנה.

הומומורפיזם הוא דרך לחבר בין שתי אלומות.
הוא נותן מפה בין האוספים על כל חלק פתוח.

מורפיזם חד-חד-ערכי לא "מבלבל" בין שני חתכים שונים.

מורפיזם על מצליח ליצור כל חתך ביעד ממקור מתאים, לפחות מקומית.

איזומורפיזם הוא מפה שהיא גם חד-חד-ערכית וגם על.
אז יש התאמה מושלמת בין שתי האלומות.

אם יש אלומה של חוגים, אפשר שיהיו אלומות שהן מודולים מעליה.
זה אומר שהחוג משפיע על החתכים של האלומה השנייה.

אלומות חשובות בגאומטריה ובחקר פונקציות מיוחדות.
הן מופיעות במיוחד בגאומטריה אלגברית, שם בונים סכמות בעזרתן.

בסכמות משתמשים באלומות כדי לתאר מרחבים שמגיעים מחוגים.
זה עוזר להבין מבנים אלגבריים בעזרת רעיונות גאומטריים.

כאשר הדברים לא קומוטטיביים, משתמשים בקטגוריות במקום אלומות ישירות.
כך מייצרים אנלוגיות של מרחבים גם במצבים קשים.

אלומה חופשית באופן מקומי פירושה: ליד כל נקודה היא נראית פשוטה.
"פשוטה" כאן אומרת שהיא חופשית כמודול מעל אלומת המבנה.