"אם ורק אם" (ראשי תיבות: אמ"ם, ולעתים "אימוּם") הוא קשר לוגי בין שתי טענות. הקשר אומר שכל אחת מהטענות נכונה בדיוק כששנייה נכונה. במתמטיקה קוראים לזה גם "תנאי הכרחי ומספיק": הכרחי כי אם אחד לא קיים גם השני לא יתקיים; מספק כי אם אחד קיים אז גם השני קיים.
לדוגמה, התקנות יכולות לקבוע "התרגשות תתרחש אם ורק אם הרמזור ירוק". באופן פורמלי סימן הקשר הוא ⇔ (או ↔, ≡). טבלת האמת מראה שהקשר נכון כששתי הטענות שוות בערכן, ושקר אחרת.
הקשר קומוטטיבי (חילופיות): A ⇔ B שקול ל-B ⇔ A. הוא גם אסוציאטיבי (קיבוצי): (A ⇔ B) ⇔ C שקול ל-A ⇔ (B ⇔ C).
כדי להוכיח "A אם ורק אם B" ניתן:
- להראות שתי הוכחות אם-אז: A⇒B ו-B⇒A.
- או להראות ש((A ו-B) או (לא A ו-לא B)) נכסית.
צריך לשים לב למיקומם של כמותיות (quantifiers). אם B אינה תלויה במשתנה x, הרי שהניסוחים "B אם ורק אם לכל x A(x)" ו"לכל x, B אם ורק אם A(x)" אינם זהים. שינוי בסדר הכמותים משנה את המשמעות.
דוגמאות במתמטיקה משתמשות בתנאי הכרחי ומספיק לתיאור שקילות בין הגדרות ורכיבים שונים של משפטים.
המילים "אם" ו"רק אם" ניתנות לפרק: "אם" מציין תנאי מספיק, ו"רק אם" מציין תנאי הכרחי. כך אפשר להמיר ניסוחים בין שתי הצורות בלי לשנות את המשמעות.
כדי שהאוניה תרעיש בתותחיה צריך: תחמושת, טווח ירי ותותחן בריא. כל אחד מהרכיבים הוא תנאי הכרחי (ללא אחד מהם אין רעש). אך הם אינם מספיקים כל אחד לבדו. לעומת זאת, אם אחת משתי אוניות תירה, זה כבר מספיק כדי להשיג את הרעש המבוקש. כאן כל אוניה מספיקה, אך אף אחת מהן אינה הכרחית לבדה.
"אם ורק אם" (קיצור: אמ"ם) אומר ששתי טענות נכונות ביחד. אם האחת נכונה, גם השנייה נכונה. אם האחת לא נכונה, גם השנייה לא נכונה.
סימן שמייצג זאת הוא ⇔. טבלת אמת (טבלה שמראה אמת ושקר) מראה שהקשר נכון כששתי הטענות שוות.
הקשר מתחלף בין הטענות. גם אפשר לקבץ כמה ביטויים ביחד.
שתי דרכים להוכחה:
- להראות A מוביל ל-B וגם B מוביל ל-A. (זה לבד אומר "אם ורק אם")
- או להראות שהמצב הוא או (A ו-B) או (לא A ו-לא B).
כדי שיהיה רעש תותחים צריך תחמושת, טווח ותותחן בריא. כל אחד מהם "צריך" להיות שם. אבל אף אחד מהם לבד לא מספיק. אם אחת משתי אוניות יורה, זה מספיק כדי לשמוע רעש.
תגובות גולשים