אנליזה ממשית

האנליזה הממשית (Real analysis) היא ענף באנליזה מתמטית שעוסק בפונקציות ממשיות. פונקציות ממשיות הן פונקציות שקיבולתן והחזרתן הן מספרים ממשיים. דוגמאות פשוטות הן f(x)=x^2 ו-f(x)=ω(x) (הסינוס).

ברמה ראשונית משתמשים בחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי כדי לחקור פונקציות אלה. עם זאת קיימות פונקציות שהכלים הבסיסיים לא מטפלים בהן היטב. דוגמה בולטת היא פונקציית דיריכלה, המוגדרת כ־1 על כל המספרים האירציונליים ו־0 על כל המספרים הרציונליים. פונקציה זו אינה רציפה בשום נקודה, ולא ניתן לחשב את אינטגרל רימן שלה בקטע [0,1].

מכיוון שיש דוגמאות כאלו, פיתחו אנליזה ממשית מודרנית כלים חזקים יותר. מושגי הנגזרת והאינטגרל מורחבים כך שיעבדו גם לפונקציות כאלה. אינטגרל לבג מוגדר באמצעות תורת המידה. תורת המידה היא שיטה למדוד "גודל" של קבוצות ויוצרת את הבסיס לאינטגרל לבג.


חלק חשוב באנליזה הממשית הוא חקר תתי־קבוצות של הישר. זהו שלב מקדים להבנת פונקציות. למשל, פונקציה רציפה היא כזו שההפך של קבוצה פתוחה הוא פתוח. פונקציה מדידה היא כזו שההפך של קבוצה מדידה נשאר מדיד. לאינטגרל לבג יש קשר חזק לעריכה של פונקציות על ידי צירופים ליניאריים של פונקציות מציינות של קבוצות מדידות. בתמצית, חקר הקבוצות מסייע להגדיר ולנתח אינטגרלים ופונקציות מורכבות.

קיים גם תרשים שמסכם את מחלקות הקבוצות הנחקרות על הישר ואת הכלות ביניהן.

האנליזה הממשית עוסקת בפונקציות שמקבלות מספרים אמיתיים ומחזירות מספרים אמיתיים. דוגמאות פשוטות הן x^2 ו־sin(x).

לפעמים כלים רגילים לא מספיקים. יש פונקציות מוזרות כמו פונקציית דיריכלה. היא נותנת 1 אם המספר אי־רציונלי ו־0 אם הוא רציונלי. היא לא רציפה בשום מקום. אי אפשר לחשב לה את אינטגרל רימן בקלות בקטע [0,1].

כדי לטפל בפונקציות כאלה המציאו אינטגרל חזק יותר בשם אינטגרל לבג. אינטגרל לבג בנוי על תורת המידה. תורת המידה היא דרך למדוד "גודל" של קבוצות, גם כאלה מוזרות.


חלק אחר בחקר הוא לחקור קבוצות על הישר. זה חשוב כדי להבין פונקציות. למשל, פונקציה רציפה לא עושה קפיצות. פונקציה מדידה קשורה לדרך למדוד קבוצות. אפשר גם לקרב פונקציות בעזרת צירוף של פונקציות שמציינות קבוצות מדידות.

יש תרשים שמראה אילו קבוצות נחקרות ואיך הן קשורות.