גאומטריה אלגברית

גאומטריה אלגברית היא ענף במתמטיקה שמחבר בין אלגברה מופשטת, בעיקר אלגברה קומוטטיבית (אלגברה שבה a·b = b·a), וגאומטריה.

התחום עוסק בעקומות, משטחים והכללות שלהם שניתן לתאר הן כאובייקטים גאומטריים והן כקבוצות הפתרונות של משוואות פולינומיות.

בגישה הקלאסית חוקרים את קבוצות ההתאפסות של אוסף פולינומים. לדוגמה, הכדור הוא קבוצת נקודות (x,y,z) שמקיימות שמסכום הריבועים שלהם שווה ל-1.
קבוצה כזו של נקודות שנוצרת על ידי כל הפולינומים מקובצת על-ידי הסימון V(S).
מנגד, לכל תת־קבוצה U מגדירים I(U) כאוסף הפולינומים שמתאפסים על כל הנקודות של U. I(U) הוא אידיאל בחוג הפולינומים.

מגדירים את המרחב האפיני A^n(k) בתור כל n-קואורדינטות מעל שדה k. פונקציות רגולריות על המרחב הן פשוט פולינומים.
תת־קבוצה של A^n היא קבוצה אלגברית אם היא קבוצת התאפסות של אוסף פולינומים.

טופולוגית זָריצקי (Zariski) מגדירה קבוצות סגורות בדיוק בתור קבוצות אלגבריות. לכן U=V(I(U)) כאשר U סגורה בזריצקי.
משפט האפסים של הילברט (Nullstellensatz) מקשר בין V(S) ל-I(V(S)): I(V(S)) הוא הרדיקל של האידיאל שנוצר על ידי S. הרדיקל מכיל פולינומים שחזקה שלהם נמצאת באידיאל.
לפי משפט הבסיס של הילברט (Hilbert) כל אידיאל בחוג הפולינומים נוצר על ידי מספר סופי של פולינומים.
קבוצה אלגברית שאי־אפשר לפרק לאיחוד של שתי תתי־קבוצות סגורות היא יריעה אלגברית. היריעות המקבילות לאידיאלים ראשוניים.

פונקציה רגולרית על יריעה V היא צמצום של פולינום מהמרחב האפיני. אוסף הפונקציות הרגולריות על V הוא חוג הקואורדינטות k[V].
ניתן לזהות אותו עם חוג המנה k[A^n]/I(V), כי שתי פונקציות שמזדהות על V שונות רק על איבר ב-I(V).

מורפיזמים בין יריעות אפיניות הם המפות שניתנות על־ידי קומפוננטות רגולריות. הקטגוריה של יריעות אפיניות היא ההפוכה לקטגוריה של k-אלגבראות נוצרות סופית שהן תחומי שלמות.

כדי להבין "התנהגות באינסוף" מוסיפים נקודות באינסוף ומקבלים את המרחב הפרויקטיבי. בכך מקבלים יריעות פרויקטיביות עם נקודות נוספות.
מבחינה אלגברית עובדים בקואורדינטות הומוגניות. המרחב הפרויקטיבי פושט וטוהר כמה טענות, למשל משפט בזו (Bezout), שקושר בין דרגות יריעות לבין מספר נקודות החיתוך שלהן.

הגישה המודרנית מגדירה סכמות, שהומצאו על ידי גרותנדיק. סכמות מאפשרות לראות חוגים קומוטטיביים כעצמים גאומטריים, והרחיבו מאוד את היכולת לעבוד בתורת האלגebra ובגאומטריה.

כבר בעשור המוקדם עומר ח'יאם השתמש בחיתוך פרבולה ומעגל כדי לפתור משוואות ממעלה שלישית.
העיסוק המאורגן במודרניזציה של התחום החל במאה ה-19 וגדל במאה ה-20. פלוקר הראה תוצאות על מספר הישרים המשיקים לעקומות מסדרים שונים. קיילי הראה שמשטח מחומר מסדר שלישי מכיל 27 ישרים.
במאה ה-20 יסודות התחום הושלמו על־ידי זריצקי, וייל ואחרים, ואלגברה קומוטטיבית פותחה בידי הילברט, נותר ואחרים.
במהלך המאה ה-20 בנו סר וגרותנדיק את תורת האלומות והסכמות. תחום זה שימש אחר כך בכלים הומולוגיים, והפך לכלי מרכזי בגאומטריה האלגברית וביישומים בתורת המספרים.

חלק גדול מהגאומטריה האלגברית עוסק בטענות מופשטות, אך פותחו גם שיטות חישוביות. הטכניקה החשובה היא בסיסי גרובנר, שממומש במערכות חישוב אלגבריות.

גאומטריה אלגברית היא חיבור בין אלגברה וגאומטריה.
זה אומר שבוחנים צורות כמו עקומות ומשטחים וגם את המשוואות שמייצרות אותן.

קבוצה אלגברית היא כל הנקודות שמאפסים את אותם פולינומים.
לדוגמה, הכדור הוא כל הנקודות שהחיבור של הריבועים של שלושת הקואורדינטות שווה ל־1.
אם יש שני פולינומים, נבדוק את הנקודות שבהן שניהם שווים לאפס.

A^n הוא אוסף של נקודות עם n קואורדינטות מעל שדה k.
פונקציה רגולרית היא פשוט פולינום, כלומר ביטוי עם חזקות וחיבורים.
קבוצה אלגברית נוצרה על ידי פולינומים אלה.
קבוצה אלגברית שלא ניתנת לפירוק לאחת כזו אחרת נקראת יריעה.

פונקציה רגולרית על יריעה היא פולינום שמוגבל אליה.
חוג הקואורדינטות של יריעה מכיל את כל הפולינומים הללו, אך מחלקים לפי אלו שמזהים על היריעה.

כדי להבין מה קורה "באינסוף" מוסיפים נקודות חדשות ומקבלים מרחב פרויקטיבי.
זה מסדר בעיות שונות ונותן כלים חזקים, למשל לחישוב מספר נקודות החיתוך של שתי יריעות.

היום חוקרים גם סכמות. סכמות הן דרך לראות חוגים כשטחים גאומטריים.
זה עזר למתמטיקאים לפתור שגיאות וליצור שפה אחידה.

מאז ימי עומר ח'יאם אנשים השתמשו בגאומטריה כדי לפתור משוואות.
במאות ה-19 וה-20 חוקרים רבים פיתחו תוצאות חשובות, כמו מספר הישרים על משטחים מסוימים.
באמצע המאה ה-20 הומצאו שיטות חדשות, וסוף־סוף הופיעו גם שיטות חישוביות, כמו בסיסי גרובנר.
עקומים אליפטיים הם דוגמה חשובה. הם שימשו במתמטיקה וגם בהצפנה.