גאומטריה היפרבולית

על משטח היפרבולי

גאומטריה היפרבולית היא גאומטריה לא אוקלידית שבה מחליפים את אקסיומת המקבילים. אקסיומה היא כלל יסוד שמניחים ללא הוכחה. באקסיומה החדשה כתוב: דרך כל נקודה שמחוץ לישר עוברים לפחות שני ישרים שאינם חותכים את אותו הישר.


החלפת האקסיומה משנה תכונות רבות, אך רבות מהטענות הראשונות בגאומטריה (28 הטענות הראשונות ב"יסודות" של אוקלידס) נשמרות כאן. חשוב להבחין שמושגים ששווים באוקלידסיים כבר לא שקולים בהיפרבוליה, וצריך להציג מושגים חדשים.


במובן מסוים מדובר בשינוי מינימלי: רק אקסיומת המקבילים שונה. אם מסירים את אקסיומת המקבילים מקיימת גאומטריה שנקראת "אבסולוטית". יש שתי גרסאות של גאומטריה אבסולוטית: האוקלידית וההיפרבולית.

ההשלכה החשובה היא שקיים בקנה מידה יחסי בין זוויות ומרחקים בגאומטריה ההיפרבולית, כלומר מדידות זוויות מושפעות מעקמומיות המישור.


ישרים היפרבוליים שומרים תכונות מוכרות: שתי נקודות מגדירות ישר יחיד, והוא הקטע הקצר ביותר בין הנקודות (גאודזיה). שני ישרים חותכים זה את זה לכל היותר בנקודה אחת, והזוויות בנקודת החיתוך מתנהגות כרגיל.

עם שלושה ישרים המצב משתנה: למשל, מתוך זוג ישרים חותכים יכולים לעבור אינסוף ישרים שלא חותכים אף אחד מהם.


אם יש ישר R ונקודה P מחוץ לו, אז קיימים לפחות שני ישרים דרך P שאינם חותכים את R. למעשה יש אינסוף כאלה במישור.

מבחינים בין שני סוגים של יחסים כאלה: "מקבילים גבוליים" (שנמצאים בגבול, ויש ביניהם זווית הקרויה זווית ההקבלה) ו"אולטרה-מקבילים" (שאינם נוגעים בגבול הזה). עבור זוג קווים אולטרה-מקבילים קיים ישר יחיד שמונח על שניהם בניצב.


בסוג זה של גאומטריה סכום הזוויות במשולש תמיד קטן מ-180 מעלות. ההפרש נקרא מגרעת זוויתית. שטח משולש היפרבולי פרופורציונלי למגרעת הזאת ולריבוע רדיוס העקמומיות R של המישור. לכל משולש אידיאלי, שבו כל הזוויות אפס, השטח מגיע לערך מקסימלי שניתן להשיג.

כמו בגאומטריה הימנית (כדורית), אם שני משולשים דומים אז הם גם חופפים.


ההיקף של מעגל בהיפרבוליה גדול מאשר 2πr, והוא גדל במהירות שונה מזו באוקלידס. עבור מישור עם עקמומיות קבועה שלילית K מוגדר R=1/√(-K). נוסחאות ספציפיות מקשרות בין רדיוס r, R וההיקף והשטח של הדיסק, ומראות שהיחס בין היקף לרדיוס תמיד גדול מ-2π.


במישור ההיפרבולי המקום שכל הנקודות בו שוות מרחק מישר הוא עקום שנקרא היפר-מעגל. יש גם עקומים מיוחדים הנקראים הורוצייקלים או "מעגלים גבוליים". להורוצייקל כל הנורמליות (קווים שניצבים לו) מתקרבות אחת לשנייה בכיוון מסוים אל נקודה אידיאלית על הגבול של המישור. אפשר לראות הורוצייקל כ"מעגל שרדיוסו שואף לאינסוף", אך הוא אינו ישר ולא מעגל לפי ההגדרה האוקלידית.

בין שלוש נקודות שונות יש תמיד עקומה מסוג אחד מתוך אלו: ישר, היפר-מעגל, הורוצייקל או מעגל.


אפשר לרצף את המישור ההיפרבולי באמצעות מצולעים משוכללים. יש אינסוף ריצופים אחידים באמצעות משולשי שוורץ (p q r), והם מקשרים את הגאומטריה ההיפרבולית לתחומים מתמטיים אחרים, כמו משטחי רימן ותבניות מודולריות.


יש משטחים פסאודוספיריים עם עקמומיות גאוס שלילית קבועה. אולם לפי משפט הילברט אי-אפשר להטביע מישור היפרבולי שלם במרחב אוקלידי תלת־ממדי בלי עיוותים. לכן כאלה משטחים מייצגים רק חלקים מההיפרבוליה באופן מקומי.


כדי להראות שהגאומטריה ההיפרבולית עקבית בונים מודל שלה בתוך הגאומטריה האוקלידית. מכיוון שיש מודלים כאלה, אם הגאומטריה האוקלידית עקבית אז גם ההיפרבולית עקבית. זאת גם ההוכחה שאקסיומת המקבילים האוקלידית בלתי תלויה בשאר האקסיומות.


המישור ההיפרבולי ניתן לתיאור גם כמישור רימן בעלי עקמומיות -1. מבחינה טופולוגית, הוא כיסוי אוניברסלי של משטחים רימניים עם עקמומיות שלילית. קיימים מספר מודלים מקובלים שמציגים את המישור במסגרת הגאומטריה האוקלידית, ומאפשרים לעבוד עם רעיונות היפרבוליים בתוך המרחב המוכר.

על משטח היפרבולי

גאומטריה היפרבולית היא דרך אחרת לתאר שטח. אוקלידית היא הגאומטריה הרגילה. אקסיומה היא כלל בסיסי. כאן החליפו את כלל המקבילים: דרך נקודה מחוץ לישר עוברים יותר משורה אחת שאינו חותך את אותו ישר.


זה דומה לגאומטריה הרגילה בהרבה דברים, אבל יש הבדלים חשובים. צריך ללמוד מושגים חדשים.


רק כלל המקבילים שונה. הרבה משפטים פשוטים נשמרים גם כאן.


שתי נקודות קובעות ישר יחיד. ישר הוא הקטע הקצר ביותר בין שתי נקודות.


דרך נקודה מחוץ לישר עוברים כמה ישרים שלא נחתכים עם אותו ישר. יש סוגים שונים של קווים כאלה. לחלק מהם יש זווית מיוחדת שנקראת זווית ההקבלה.


בסוג הזה של גאומטריה סכום הזוויות במשולש קטן מ-180 מעלות. ההבדל הזה נקרא מגרעת זוויתית. שטח המשולש קשור בגודל ההבדל הזה.


ההיקף של מעגל בהיפרבוליה גדול ממה שהכרנו במישור הרגיל. ככל שהמישור "עקום" יותר, זה משתנה.


יש עקומים מיוחדים: היפר-מעגל והורוצייקל (מעגל גבולי). הורוצייקל נראה כמו מעגל שרדיוסו הולך לאינסוף, אבל הוא לא כזה בדיוק.


אפשר לכסות את המישור ההיפרבולי באריחים יפים. זה נותן דוגמאות מרהיבות, כפי שרואים בעבודות של ארטיסטים כמו אסר.


אפשר להראות את הרעיונות האלה בתוך הגאומטריה הרגילה בעזרת מודלים. המודלים עוזרים להבין שאין סתירה ברעיונות ההיפרבוליים.