גאורג קנטור

גאורג פרדיננד לודוויג פיליפ קנטור (1845, 1918) היה מתמטיקאי גרמני ממוצא יהודי. הוא נחשב לאבי תורת הקבוצות, התחום שעומד בבסיס רבות מהמתמטיקה המודרנית.

נולד בסנקט פטרבורג כבן בכור במשפחה מעורבת מבחינה דתית ואתנית. בעקבות מחלת אביו עברה המשפחה לגרמניה בשנת 1856. קנטור הצטיין במתמטיקה כבר בבית הספר, התחיל בלימודי הנדסה ואז עבר למתמטיקה באוניברסיטת ברלין. הוא השלים דוקטורט בתורת המספרים ב-1867, והצטרף לסגל אוניברסיטת האלה ב-1869, שם עבד עד 1913.

ב-1874 נשא לאישה את וואלי גוטמן, ולהם נולדו שישה ילדים. קנטור סבל מאפיזודות של אופוריה ודיכאון, והתקפי הדיכאון פגעו לעיתים בעבודתו. בשנותיו האחרונות אושפז מדי פעם בבתי חולים לחולי נפש. הוא פרש מהוראה ב-1913 ונפטר ב-1918 בבית חולים בהאלה.

תחילת מחקריו הייתה בסדרות טריגונומטריות. ב-1872 ניסח הגדרה של המספרים הממשיים באמצעות סדרות קושי (קבוצות של מספרים רציונליים שמתקרבים אחד לשני). באותה שנה הוצגה גם הגדרה שקולה בשם "חתכי דדקינד".

ב-1873 הוכיח שקבוצות כמו המספרים הרציונליים והמספרים האלגבריים הן בני-מנייה. זאת אומרת, אפשר לספור כל איבר בהן לפי הסדרה הטבעית. בדצמבר 1873 פרסם הוכחה חשובה נוספת: המספרים הממשיים אינם בני-מנייה. זאת הוכחה שהראתה שיש "גדלים" שונים של אינסוף. כתוצאה מכך התברר ש"רוב" המספרים הם מספרים טרנסצנדנטיים, מספרים שלא ניתנים להשגה על ידי פתרון משוואה פולינומית רגילה.

בשנת 1877 גילה תוצאה מפתיעה: קטע במישור המספרים הממשיים ([0,1]) ניתן להתאמה חד-חד ערכית עם מרחב ממשי בממדים רבים. זאת דוגמה לכך שאינטואיציה פשוטה על ממדים וגדלים יכולה להטעות.

ב-1891 פרסם את הוכחת האלכסון ואת משפט קנטור. שיטת האלכסון (לכסון) מייצרת איבר חדש שאינו מופיע ברשימה נתונה. רעיון זה הפך לכלי מרכזי במתמטיקה ומדעי המחשב, למשל בהוכחות על אי-כריעות.

במאמרים משנות ה-1890 תאר קנטור את תורת הקבוצות של קבוצות מסודרות היטב ואת רעיון המספרים הסודרים (ordinal numbers), ופיתח חשבון של אינסופים בדומה לחשבון רגיל. הוא סימן את העוצמה של קבוצת המספרים הטבעיים באות העברית "אלף" לציון האינסוף הקטן ביותר.

רעיוןיו של קנטור על גדלים שונים של אינסוף עוררו התנגדות חזקה אצל מתמטיקאים בני דורו, ובמיוחד אצל לאופולד קרונקר. חלק מהקהילה המדעית נרתע והרעיונות נחשבו לפילוסופיים או לתאולוגיים יותר מאשר למתמטיים. ההתנגדות הזו פגעה בקידומו האקדמי ובמצבו הנפשי של קנטור. רק לקראת סוף חייו הוכרה תרומתו, ודויד הילברט ציין את חשיבותה הגדולה.

רבים מהרעיונות הבסיסיים בתורת הקבוצות ובתורת האינסוף קרויים על שמו, כולל משפט קנטור והוכחת האלכסון.

(אין בפרטים המקוריים תיאורים מפורטים של פרסים; שמות אירועים ותקופות של הכרה מאוחרת מוזכרים.)

ההנצחה של קנטור נעשתה בעיקר בהכרה המדעית שהגיעה אליו לקראת סוף חייו ולאחר מותו, כשהמתמטיקה אימצה את רעיונותיו על אינסוף וקבוצות.

גאורג קנטור (1845, 1918) היה מתמטיקאי גרמני. הוא נחשב לאבי תורת הקבוצות. זו תיאוריה שעוסקת בקבוצות של מספרים וחפצים.

קנטור נולד בסנקט פטרבורג. כשהיה ילד עברה המשפחה לגרמניה. הוא למד מתמטיקה ובשנת 1869 החל ללמד באוניברסיטה בעיירה האלה. נישא לוואלי והיו לו שישה ילדים.

קנטור סבל מפעמים של עצבות עמוקה. לפעמים טופל בבתי חולים. הוא פרש מהלימוד ב-1913 ומת בבית חולים ב-1918.

קנטור הראה שיש "גדלים" שונים של אינסוף. זאת אומרת, אין רק סוג אחד של אינסוף. הוא הוכיח שמספרים מסוימים אפשר לספור, אבל המספרים הממשיים אינם ניתנים לספירה.

הוא המציא שיטת "האלכסון". שיטה זו בונה מספר חדש שאינו ברשימה נתונה. השיטה הזאת חשובה במדעי המחשב.

קנטור גם דיבר על מספרים סודרים. אלה הם דרכים לסדר איברים בסדר מיוחד. הוא השתמש באות העברית "אלף" כדי לדבר על אינסוף קטן.

בראשית עבודהו רבים התנגדו לרעיונותיו. קנטור לא תמיד קיבל כבוד רב בזמן חייו. רק מאוחר יותר הוכרה תרומתו.

כמה תוצאות חשובות במתמטיקה נקראות על שמו, כמו משפט קנטור והוכחת האלכסון.