גבול של סדרה

גבול של סדרה הוא מספר שאליו איברי הסדרה הולכים ומתקרבים. את זה מסמנים בדרך כלל כך: lim_{n→∞} a_n = L או בקיצור a_n → L. המילה lim מגיעה מהמילה הלטינית limes, שמשמעותה "גבול". האות a מסמלת את הסדרה, ו-n מציין את המיקום של האיבר בסדרה. הסימון ∞ מציין אינסוף.

אינטואיטיבית, סדרה מתכנסת אם האיברים שלה מתקרבים למספר מסוים. להגדרה מדויקת משתמשים ברעיון של סביבה ומרחק. מרחק בין שני מספרים מוגדר כערך המוחלט של ההפרש שלהם.

סביבה של מספר a היא קבוצת המספרים שהמרחק שלהם מ-a קטן עד רדיוס מסוים. מסמנים את הרדיוס באות אפסילון (ε), שהוא מספר חיובי שניתן לבחור קטן ככל שצריך. להגדרת הגבול אומרים: המרחק בין איבר הסדרה L לבין האיבר a_n צריך להיות פחות מ-ε עבור רוב האיברים.

כדי שהסדרה תתכנס ל-L, חייב להיות כך: לכל רדיוס חיובי ε קיים אינדקס N_0, כך שמכל מקום שמספר האיבר גדול מ‑N_0, האיבר נמצא בתוך המרחק ε מ-L. כלומר, אחרי מקום מסוים האיברים תמיד נמצאים בסביבת הגבול, גם אם נבחר סביבת קירבה קטנה מאוד.

האינדקס N_0 תלוי בבחירה של ε. ככל שהאפсилון קטן יותר, בדרך כלל צריך N_0 גדול יותר. N_0 חייב להיות מספר טבעי; אם בחישוב מקבלים מספר ממשי, לוקחים את התקרה שלו כדי לקבל מספר שלם גדול יותר.

תנאי קושי (השם המילולי) הוא דרך שווה להגיד שסדרה מתכנסת. הוא אומר שבסופו של דבר המרחק בין כל שני איברים יהיה קטן כרצוננו. ההבחנה החשובה היא שהתנאי הזה לא מזכיר את גבול הסדרה; רק בודק האם האיברים מתקרבים זה אל זה.

ניתן גם לומר שסדרה שואפת לאינסוף אם האיברים גדלים בלי גבול. למשל 1,2,3,4,... שואפת לאינסוף. יש גם מושג של שאיפה למינוס אינסוף.

אוסף כל הסדרות המתכנסות יוצר מרחב שבו אפשר להגדיר אופרטור שנקרא "הגבול". אופרטור זה מקבל סדרה מתכנסת ומחזיר את המספר שהוא גבולה. לפי חוקים של אריתמטיקה, אפשר לבצע חיבור, חיסור וכפל של גבולות תחת תנאים מתאימים.

כאשר סדרה אינה מתכנסת, אפשר לבדוק אם היא שואפת לאינסוף. אפשר גם להסתכל על תת‑סדרות של הסדרה; גבול של תת‑סדרה נקרא גבול חלקי. אם כל תתי‑הסדרות מתכנסות, אז כל הגבולות החלקיים שווים. מהאוסף של הגבולות החלקיים מגדירים גם את הגבול התחתון (הקטן ביותר) ואת הגבול העליון (הגדול ביותר).

גבול הוא המספר שאליו הסדרה מתקרבת. סדרה היא רשימה של מספרים בסדר מסוים. כותבים לעתים: a_n → L.

סדרה מתכנסת אם האיברים שלה מתקרבים למספר בודד. קרבה נמדדת על ידי מרחק בין מספרים.

לוקחים סביבת קירבה קטנה סביב המספר L. אם רוב האיברים נמצאים בתוכה, הם קרובים מספיק. ניתן לעשות את הסביבה קטנה מאוד.

המשמעות היא: אחרי מקום מסוים ברשימה, כל האיברים יהיו תמיד קרובים ל-L. המקום הזה יכול להיות גדול, אבל הוא קיים.

תנאי הקושי אומר שבסוף הרשימה המרחק בין כל שני איברים יהיה קטן. אם זה נכון, הסדרה מתכנסת.

אם האיברים גדלים בלי סוף, אומרים שהסדרה שואפת לאינסוף. למשל 1,2,3,... שואפת לאינסוף.

גבול של תת‑רשימה נקרא גבול חלקי. הגבול התחתון הוא הגבול הקטן ביותר. הגבול העליון הוא הגדול ביותר.