הוכחה

הוכחה היא סדרה סופית של טענות שמתקשרות זו לזו בעזרת כללי היסק, הגדרות, אקסיומות וידע שהוכח קודם. הוכחה מראה שטענה מסוימת היא נכונה. הפרכה של טענה היא הוכחה שהיא לא נכונה; כלומר, הוכחה שהשלילה של הטענה נכונה. טענה בלי הוכחה נקראת השערה; טענה עם הוכחה נקראת משפט או תאורמה.

משלימה ותפקיד: תפקיד ההוכחה במתמטיקה הוא להפוך רעיונות לדרך ברורה שממנה ניתן לבנות רעיונות חדשים. רבים מעדיפים לא רק שרשרת צעד-אחר-צעד פורמלית, אלא גם הסבר רעיוני שמראה את הרעיון וההקשר.

הוכחות משתמשות בחוקים להסקה, אך גם בשפה טבעית. השפה הטבעית עלולה ליצור עמימות, ולכן אפשר לבנות הוכחות פורמליות כדי להימנע מזה. בין טכניקות ההוכחה יש שיטות שונות, ולעתים אפשר להוכיח טענה במספר דרכים. למשל, למשפט פיתגורס יש מאות הוכחות שונות.

פעמים רבות יש הוכחות שעושות שימוש במחשב. דוגמה בולטת היא משפט ארבעת הצבעים (הוכח ב-1976), שהצריך בדיקות ממוחשבות. זה עורר ויכוח אם הוכחה שאדם אחד לא יכול לבדוק בעצמו נחשבת תקפה.

סיום ההוכחה מסומן מסורתית בסימנים כמו מש"ל (מה שהיה להוכיח), Q.E.D או בציור של ריבוע ריק/מלא הנקרא הלמוש. בתלמוד נהגו לחתום בסימן ש"מ.

שאלות על הוכחה קשורות גם לאקסיומות, ההנחות הבסיסיות של מערכת. אוסף אקסיומות שאינו מכיל סתירות נקרא עקבי; לאוסף כזה יש מודלים, כלומר דרכי מימוש שבהן האקסיומות מתקיימות. משפט השלמות של גדל אומר שהמשפטים שניתן להוכיח מתוך אקסיומות הם בדיוק אלה שמתקיימים בכל המודלים של האקסיומות.

עם זאת, קיימת תוצאה חשובה נוספת: משפטי האי-שלמות של גדל מראים שבעוד מערכות מסוימות של אקסיומות הן שלמות, מערכות שמכילות אריתמטיקה מספקת אינן יכולות להיות גם עקביות ופשוטות כאחד. כלומר, יהיו בהן טענות שניתנות לניסוח אך אי אפשר להוכיחן או להפריכתן בתוך אותה מערכת.

בעקבות זה, לחוקרים יש אפשרות להוסיף טענה או את שלילתה כאקסיומה חדשה ולקבל אוסף אקסיומות אחר, כל עוד השינוי נשאר עקבי. בעיות פתוחות רבות ממשיכות להעסיק את המתמטיקה, כמו השערת גולדבך והשערת רימן; חלקן נותרו ללא פתרון שנים רבות. דוגמא אחרת היא המשפט האחרון של פרמה, שהוכח רק אחרי כ-350 שנה.

הוכחה היא סדרה של טענות שמראות שטענה מסוימת נכונה. כל טענה בונה על קודמתה בעזרת חוקים פשוטים. הפרכה היא הוכחה שהטענה לא נכונה. טענה שאף אחד עדיין לא הוכיח קוראים לה השערה.

הוכחות משתמשות גם בשפה רגילה וגם בכללים ברורים. כדי למנוע בלבול אפשר לכתוב הוכחה פורמלית, שזה כמו הוראות ברורות ללא מקום לפרשנות. יש הרבה דרכים להוכיח טענה אחת. למשל, למשפט פיתגורס יש המון הוכחות שונות.

לפעמים משתמשים במחשב כדי לבדוק הוכחות. המשפט של ארבעת הצבעים הוכח בעזרת מחשב. זה עורר שאלות, כי לא תמיד אדם אחד יכול לבדוק את כל הבדיקות האלה.

בסוף הוכחה חותמים בסימן כמו מש"ל או בציור של ריבוע הנקרא הלמוש.

אקסיומות הן החוקים הבסיסיים שאנו מקבלים בהתחלה. אם החוקים האלה לא סותרים זה את זה הם נקראים עקביים. יש משפטים שאומרים באילו מערכות אפשר להוכיח כל טענה ואילו לא. יש גם טענות מפורסמות שעדיין לא הוכחו, כמו השערת גולדבך והשערת רימן. חלק מהבעיות האלה עדיין מעניינות ומאתגרות מדענים היום.