הוכחה בדרך השלילה

הוכחה בדרך השלילה, שנקראת גם הוכחה עקיפה, היא שיטה שבה מניחים שהטענה שגויה. אם הנחה זו מובילה לסתירה לוגית, מסיקים שהטענה נכונה. בלועזית זה נקרא Reductio ad absurdum, צמצום לא-מציאות (מוביל לאבסורד).

השיטה נשענת על כלל השלישי מן הנמנע: כל טענה היא או נכונה או לא נכונה, ואין מצב ביניים. עם זאת, יש זרמים במתמטיקה כמו אינטואיציוניזם (גישה שמקפידה על בנייה לוגית ישירה) שאינם מקבלים תמיד הוכחות בדרך השלילה.

בהקשרים של לוגיקה מתמטית ותורת המודלים מניחים בטווח נתון שהטענה היא או נכונה או לא נכונה. הוכחה בדרך השלילה חזקה ופרקטית: במקום לבנות היסק ישיר לטענה, מניחים את ההפך ובונים היסק שמגיע לסתירה. יש בכך אופציות רבות יותר לבניית ההוכחה.

הרעיון הזה שימש כבר בעת העתיקה. פילוסופים ואנשי מדע השתמשו בו כדי להראות כשלים בטיעונים של אחרים.

זנון מאליאה ופארמנידס השתמשו בשיטה הזו כדי להפריך רעיונות כמו תנועה וריבוי. פארמנידס טען שלא ייתכן 'אין' ריק, והשתמש בסתירה כדי להסיק מסקנות על טבע המציאות.

הוכחה בדרך השלילה נפוצה בוויכוחים. דוגמה מפורסמת היא קנקן התה של ראסל: ראסל הראה שאם נדרוש הוכחה של היעדר משהו שאי אפשר להפריכו, מגיעים לטיעונים לא-רציונליים. בדומה, הופיעו פארודיות דתיות כמו 'מפלצת הספגטי המעופפת' כדי להמחיש זאת.

טיעון קיצוני אחר הוא רעיון יום חמישי האחרון: לפיו כל העדויות לעבר נוצרו רק לפני זמן קצר. הרעיון מראה כיצד טיעון שאי אפשר להפריך יכול להוביל לאבסורד.

בויכוח יומיומי אפשר לזהות הוכחה בדרך השלילה: אם הנחה שבסיסה גוררת הסתירה בין טענות, ניתן להצביע על הטעות ולדחות את ההנחה.

הוכחה בדרך השלילה היא דרך להראות שטענה נכונה על ידי הוכחת ההפך שגוי. כלומר, מניחים שהטענה לא נכונה. אם זה גורם לסתירה, הטענה המקורית נחשבת נכונה.

שמה הלטיני הוא Reductio ad absurdum. זה אומר: להראות שהנחה מובילה למצב מצחיק או לא הגיוני.

במתמטיקה משתמשים בשיטה הזאת הרבה. במקום לבנות הוכחה ישירה, מנסים להראות שההפך מוביל לטעות.

פילוסופים עתיקים כמו זנון ופארמנידס השתמשו בשיטה כדי להפריך רעיונות על תנועה ועל ריק.

ברטראנד ראסל דמיין "קנקן תה" כדי להראות שטענה שאי אפשר להפריך היא בעייתית. יש גם דוגמאות מצחיקות כמו "מפלצת הספגטי המעופפת".

רעיון מוזר אחר נקרא "יום חמישי האחרון". הוא אומר שכל הזכרונות והעדויות נוצרו רק לפני זמן קצר. זה מראה שאם טענה לא ניתנת להפרכה, היא עלולה להוביל למסקנות מוזרות.