משפט היינה-בורל

משפט היינה-בורל קובע כי בקבוצות של המספרים הממשיים ובמרחבים האוקלידיים R^n, קבוצה היא קומפקטית אם ורק אם היא סגורה וחסומה. קומפקטיות היא תכונה טופולוגית; כאן היא מתוארת כאפיון פשוט באמצעות סגירות וחסימות.
המשפט נכון במדויק במרחבים אוקלידיים, אך אינו מוחלט לכל מרחב מטרי. מרחב מטרי הוא מרחב שבו מוגדר מרחק בין נקודות. המשפט קשור לשני משפטים נוספים: בולצאנו-ויירשטראס והלמה של קנטור, וניתן להסיק ביניהם תוצאות זו מזו בהשקעה לא גדולה. המשפט נקרא על שם אדוארד היינה ואמיל בורל.
קומפקטיות כאן פירושה שכל כיסוי פתוח של הקבוצה מכיל תת-כיסוי סופי. כיסוי פתוח הוא אוסף של קבוצות פתוחות שמכסה את כל הנקודות של הקבוצה.
בחומר הכללי נכון שכיוּן אחד של האפיון תקף בכל מרחב מטרי: כל קבוצה קומפקטית היא תמיד סגורה וחסומה. ההפך לא נכון באופן כללי. יש אפיון כללי יותר: במרחב מטרי קבוצה היא קומפקטית אם ורק אם היא שלמה וחסומה כליל. שלמה (complete) פירושה שכל רצף קאוצ'י, רצף שהמרחקים הפנימיים שלו מתקרבים לאפס, מתכנס לנקודה במרחב. חסומה כליל (totally bounded) פירושה שניתן לכסות את הקבוצה בכמות סופית של כדורים קטנים בכל רדיוס נתון.
במרחבים שלמים (כמו R^n) כל קבוצה סגורה היא שלמה. לכן באוקלידיות מתקבל האפיון הפשוט: קומפקטיות שווה לסגירה ולחסימה.
הרעיון להראות שקבוצה סגורה וחסומה היא קומפקטית נשען על שלושה טיעונים קצרים. ראשית, תיבה סגורה (מוצר של חתכים סגורים בצירים) היא קומפקטית. נניח שקיימת כיסוי פתוח ללא תת-כיסוי סופי. נחלק את התיבה ל-2^d חלקים שווים (בממד d), ונבחר חלק ללא תת-כיסוי סופי. חוזרים כך שוב ושוב ומקבלים סדרה של תיבות מקוננות שקוטרן שואף לאפס. לפי הלמה של קנטור חיתוך כל התיבות הוא נקודה בודדת. נקודה זו מכוסה על ידי אחד המחיצות בכיסוי, ואז אותה תיבה נשארת מכוסה סופית, סתירה.
שנית, כל קבוצה חסומה נכללת בתיבה סגורה מסוימת, כי ניתן לבחור תיבה שמכסה את כל הכדורים הרלוונטיים. שלישית, תת-קבוצה סגורה של קבוצה קומפקטית היא עצמה קומפקטית, כי אפשר להרחיב כיסוי שלה לכיסוי של הקבוצה הגדולה ולצמצם לתת-כיסוי סופי.
כך מתקבלת ההוכחה שבריבועים אוקלידיים כל קבוצה סגורה וחסומה היא קומפקטית, כלומר משפט היינה-בורל מתקיים.

משפט היינה-בורל אומר בקצרה: בקבוצות של המספרים הממשיים ובמרחבים האוקלידיים R^n, קבוצה קומפקטית אם ורק אם היא סגורה וחסומה.
סגורה = כוללת את נקודות הגבול שלה. חסומה = לא מתרחקת לאינסוף.
קומפקטית כאן אומרת שכל כיסוי פתוח שלה אפשר לצמצם לתקציר קטן, כלומר למצוא תת-כיסוי סופי. כיסוי פתוח זה אוסף של קבוצות פתוחות שמכסה את הכל.
בחלק מהמרחבים המשפט לא תקף מלא. במרחבים אוקלידיים הוא נכון במדויק.
ההוכחה משתמשת בתיבה סגורה. מחלקים את התיבה לחלקים קטנים יותר שוב ושוב. בוחרים תמיד את החלק שאין לו כיסוי סופי. בסוף מקבלים סדרה של תיבות שמצטמצמות לנקודה אחת, לפי למה של קנטור. נקודה זו חייבת להיות מכוסה על ידי אחת מהקבוצות, וזה יוצר סתירה. לכן התיבה היא קומפקטית.
עוד נדבך הוא שכל קבוצה חסומה גדולה נכנסת בתוך תיבה כזו. וגם תת-קבוצה סגורה של קבוצה קומפקטית היא גם קומפקטית.