המרחב המשיק

המרחב המשיק על יריעה חלקה הוא מרחב וקטורי שמייצג באופן מקומי קירוב ליניארי של היריעה. הוא מתאר את הכיוונים האפשריים שבהם אפשר 'להתקדם' מהנקודה. לכל נקודה p יש מרחב משיק משלה, שלעתים מסומן T_pM, וכל המרחבים המשיקים באותו ממד הם איזומורפיים.

ברעיון פשוט, במרחב האוקלידי הכיוונים בנקודה מייצגים נגזרות כיווניות (directional derivatives). כל נגזרת כיוונית היא פונקציונל ליניארי על קבוצת הפונקציות החלקות שמקיים את כלל לייבניץ: הוא פועל על מכפלות כך ש-v(fg)=v(f)g(p)+v(g)f(p). אוסף הפונקציונלים הללו מהווה את מרחב הווקטורים המשיקים בנקודה. הגדרה זו עובדת גם על יריעות כלליות: מגדירים v כפונקציונל ליניארי על הפונקציות החלקות על M שמקיים את כלל לייבניץ.

במרחב זה מתקיים תמיד ש-v(1)=0, כלומר וקטור משיק מאפס על פונקציות קבועות. המרחב המשיק ממדתי ושווה לממד היריעה.

אפשר לראות וקטור משיק גם כסטייג' של עקומה חלקה דרך הנקודה. אם γ(t) היא עקומה עם γ(0)=p, אז הפעולה γ'(0) על פונקציה חלקה f היא הנגזרת בזמן של f
aרך העקומה: γ'(0)(f)=d/dt|_{0} f(γ(t)).

ווקטור כזה מקיים את תנאי לייבניץ. למעשה, כל וקטור משיק ניתן לקבל כסוג של נגזרת של עקומה חלקה, ולכן שתי ההגדרות שקולות.

האגד המשיק הוא האיחוד של כל המרחבים המשיקים על כל נקודה ב-M, ומסומן TM. איחוד זה ניתן לראות כאוסף זוגות (p,v), כאשר v הוא וקטור משיק בנקודה p. ל-TM יש מבנה של יריעה חלקה בממד שווה לפעמיים מממד היריעה המקורית.

פונקציות שמקצות לכל נקודה וקטור משיק באופן חלק נקראות שדות וקטוריים. שדה וקטורי חלק מאפשר להשוות ולשלב וקטורים משיקים מנקודות שונות בצורה חלקה. במפה מקומית אפשר להציג שדה וקטורי כצירוף קווי של הבסיסים המקומיים של הווקטורים ∂/∂x_i, עם מקדמים שהם פונקציות חלקות.

לכל מרחב משיק קיים מרחב דואלי, שנקרא המרחב הקו-משיק. איבריו הם פונקציות ליניאריות על המרחב המשיק. לדוגמה, הדיפרנציאל df של פונקציה חלקה f הוא איבר במרחב הקו-משיק שמגדיר פעולה df(v)=v(f).

באמצעות קואורדינטות מקומיות אפשר לכתוב df כצירוף של dx_i עם נגזרות החלקיות של f. עוד דרך לתאר את המרחב הקו-משיק היא באמצעות אידיאלים של פונקציות שמתאפסות בנקודה. מקטלוג כמו I/I^2 (פונקציות שמתאפסות בנקודה, בשיעור ראשון, יחסית לפונקציות שמתאפסות כפול) ניתן לקבל איזומורפיזם למרחב הקו-משיק.

כל העתקה חלקה φ: M→N משרה מפה ליניארית בין המרחבים המשיקים בנקודות המתאימות, המילולית dφ_x: T_xM→T_{φ(x)}N. כאשר מלמדנים וקטורים כעמידות של מסילות, ההעתקה של הווקטור היא פשוטה: dφ_x(γ'(0))=(φ∘γ)'(0).

אם מגדירים את המרחב המשיק על ידי דריבציות, אז dφ_x פועלת על דריבציה X על N על ידי הרכבה עם φ: היא שולחת את X לדריבציה שמפעילה את X על f∘φ.

דיפרנציאל זה נקרא גם pushforward או המטריצה היעקבית בקואורדינטות. משפט מרכזי אומר שאם φ היא דיפאומורפיזם מקומי בנקודה x אז dφ_x הוא איזומורפיזם ליניארי בין המרחבים המשיקים. ולהפך: אם dφ_x הוא איזומורפיזם, קיימת סביבה של x שבה φ מהווה דיפאומורפיזם על התמונה. זהו הכללה של משפט הפונקציה ההפוכה להפניות בין יריעות.

מרחב משיק הוא אוסף הכיוונים שאפשר ללכת בהם בנקודה על יריעה חלקה. יריעה היא משטח חלק שיכול להיות מעוקם.

ווקטור משיק אפשר לתאר כאופן שבו פונקציה משתנה כשזזים בנקודה. הפעלת וקטור משיק על פונקציה נותנת מספר.

יש כלל חשוב שנקרא כלל לייבניץ. הוא אומר איך הווקטור מפעיל את עצמו על מכפלת פונקציות. לפי כלל זה, וקטור משיק הוא פונקציונל ליניארי שעוקב אחרי הכלל הזה.

עוד דרך לראות וקטור משיק היא בעזרת עקומה חלקה שעוברת דרך הנקודה. המהירות של העקומה בנקודה מייצרת וקטור משיק. להיפך, כל וקטור משיק ניתן לקבל כמהירות של עקומה מתאימה.

האוסף של כל הווקטורים המשיקים בכל נקודה נקרא האגד המשיק. הוא מסומן TM. זה כמו להחזיק ביחד את כל הכיוונים של כל הנקודות.

פונקציה שמקצה לכל נקודה וקטור משיק נקראת שדה וקטורי. שדה וקטורי חלק הוא כזה שמשתנה בשקט ובאופן רציף על כל היריעה.

לכל מרחב משיק יש מרחב דואלי. מרחב זה קוראים לו המרחב הקו-משיק. איבר במרחב הקו-משיק הוא פעולה שלוקחת וקטור ומחזירה מספר.

הדיפרנציאל df של פונקציה f הוא דוגמה לאיבר כזה. הוא עוזר למדוד איך f משתנה בכיוונים השונים.

אם יש העתקה חלקה בין שתי יריעות, היא שולחת נקודות מנקודה לנקודה. יש לה גם העתקה של וקטורים משיקים בנקודה אחת לווקטורים משיקים בנקודה השנייה. מפה זו נקראת דיפרנציאל או pushforward.

אם הדיפרנציאל בנקודה הוא התאמה חד-חד ערכית, אז ההעתקה היא טובה מאוד בסביבה של הנקודה. זה אומר שאפשר 'להפוך' את ההעתקה שם.