הורדה והעלאה של אינדקסים

בהרבה בעיות בגאומטריה דיפרנציאלית משתמשים במטריקה רימאנית. מטריקה רימאנית היא פונקציה שמודדת אורכים וזוויות בין וקטורים. היא סימטרית וביליניארית, כלומר מסתכלים על שני וקטורים ומקבלים מספר.

בנקודה על יריעה יש מרחב המשיק T. המרחב הקו-משיק T* הוא המרחב הדואלי ל-T, וכל איבר בו הוא פונקציונל, פונקציה ליניארית שמקבלת וקטור ומחזירה מספר.

בבסיס מתאים מציגים את המטריקה ברכיבים g_{μν}. הפעולה של המטריקה על שני וקטורים נרשמת כ-sum של g_{μν} v^μ w^ν. כאן משתמשים בהסכם הסכימה של איינשטיין לסכום על אינדקסים חוזרים.

המטריקה מאפשרת להמיר וקטור \'v\' בפונקציונל \'\tilde{v}\' באופן קנוני על ידי הביטוי \tilde{v}(w)=g(v,w). זה אומר שלכל וקטור אפשר להתאים פונקציונל יחיד. ברכיבים מתקבל:

v_μ = g_{μν} v^ν

זו פעולת "הורדת אינדקסים": שמה של הרכיב יורד מתו העליון לתו התחתון באמצעות המטריקה.

כדי להיפך, משתמשים במטריצה ההפכית של המטריקה, המסומנת g^{μν}. היא מקיימת g^{μν} g_{νρ} = δ^{μ}_{ρ}, כאשר δ הוא דלתא של קרונקר. העלאת אינדקסים נותנת:

v^μ = g^{μν} v_ν

כך מקבלים איזומורפיזם בין T ו-T*, והעלאה היא ההפכית להורדה.

ניתן לזהות את הגרדיאנט של פונקציה f כווקטור שמתאים לדיפרנציאל df על ידי המטריקה:

df(v) = g(v, ∇f).

בכתיב רכיבי: ∇f = g^{μν} (df)_ν ∂_μ, כלומר ∇f = g^{-1} df.

יש כלי בגיאומטריה שנקרא מטריקה. מטריקה אומרת כמה דברים ארוכים או קרובים זה לזה.

בכל נקודה על משטח יש "קווים אפשריים". האוסף שלהם נקרא מרחב המשיק. יש גם אוסף של כל הפונקציות שמודדות קווים אלו. קוראים לו המרחב הקו-משיק.

המטריקה מקשרת בין שני קווים ומוציאה מספר. אפשר לכתוב אותה באמצעות מספרים שלובבים ביחד.

המטריקה נותנת דרך להפוך וקטור לפונקציה שמודדת וקטורים אחרים. זאת קוראים "להוריד אינדקסים". למעשה משתמשים במטריקה כדי להמיר בין שני סוגי דברים.

אפשר גם להפוך בחזרה. משתמשים בשם "המטריצה ההפכית" כדי להחזיר את הווקטור. זאת קוראים "להעלות אינדקסים".

הגרדיאנט של פונקציה הוא וקטור שמקושר אליה על ידי המטריקה. אפשר לראות אותו כווקטור שמראה לאן הפונקציה גדלה.