המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי

המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי מקשר בין שני מושגי יסוד: הנגזרת והאינטגרל. הנגזרת היא שיעור השינוי של פונקציה, והאינטגרל המדוד כאן מתאר את הסכום או את השטח מתחת לגרף. המשפט מראה שהפעולות האלה הופכיות זו לזו: אם בונים פונקציה F(x)=\int_a^x f(t)\,dt ואז גוזרים אותה, מקבלים חזרה את f בנקודות שבהן f רציפה. בנוסף, המשפט נותן שיטה מעשית לחשב אינטגרל מסוים על ידי חישוב פונקציה קדומה (אנטי‑נגזרת) של f.

יהי f אינטגרבילית על [a,b] ויהי F(x)=\int_a^x f(t)\,dt. אזי F רציפה על [a,b]. בכל נקודה x_0 שבה f רציפה, מתקיים F'(x_0)=f(x_0). אם f רציפה בכל הקטע, אז F היא פונקציה קדומה של f על הקטע, כלומר F' = f שם. מכל זאת נובע נוסחאת ניוטון‑לייבניץ: אם F היא פונקציה קדומה של f אז \int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a). הבחירה של פונקציה קדומה אינה משמעותית, כי כל שתי פונקציות קדומות של אותה f נבדלות בקבוע אחד.

המשפט נכון במובן רחב יותר במסגרת תורת המידה. אפשר להכליל אותו לקבוצה רחבה של פונקציות רציפות בהחלט. יש גם מצבים מיוחדים בהם פונקציות מקומיות רציפות כמעט בכל מקום אינן שוות לאינטגרל של נגזרתן (פונקציה סינגולרית).

מכיוון ש‑f אינטגרבילית לפי רימן, היא חסומה. חסימות זו נותנת גבול על שינויי האינטגרל, ולכן F מקיימת תנאי ליפשיץ וממילא רציפה.

נבחן את商 hexpression\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h} = \frac{1}{h}\int_{x_0}^{x_0+h} f(t)\,dt. כשהאורך h שואף לאפס, הממוצע הזה מתקרב ל‑f(x_0) בגלל רציפות f בנקודה. מזה נובע שהנגזרת של F שווה ל‑f בנקודות אלו.

אם f רציפה על [a,b], אז F(x)=\int_a^x f(t)\,dt מקיימת F'=f בכל הקטע. מכאן המסקנה הישירה היא \int_a^b f = F(b)-F(a). כמו שצוין, כל פונקציות קדומות שונות זו מזו בקבוע.

ניתן להוכיח את נוסחת ניוטון‑לייבניץ גם על ידי חלוקות ויישום משפט הערך הממוצע של לגראנז'. עבור כל חלוקה מתקבלים גבולות תחתון ועליון (s(P), S(P)), שמובילים ליחס s(P) \le F(b)-F(a) \le S(P). מהגדרה זו של אינטגרל רימן עוקבת הזהות F(b)-F(a)=\int_a^b f.

הכללות של המשפט קיימות בממדים גבוהים. דוגמאות חשובות הן משפט גרין, משפט גאוס (התאורמה של divergence) ומשפט סטוקס. יש גם הכללות עקרוניות בתורת המידה ובמשפט הדיפרנציאציה של לבג.

המשפט היסודי מחבר בין אינטגרל לנגזרת. נגזרת היא כמה משהו משתנה. אינטגרל הוא השטח או סכום מתחת לעקומה.

אם בונים F(x)=\int_a^x f(t)\,dt, אז נגזרת F שווה ל‑f שם ש‑f רציפה. זה אומר שאם יודעים אנטי‑נגזרת של f, אפשר לחשב את השטח בין a ל‑b בקלות בעזרת F(b)-F(a).

השטח שונה מעט כשמשנים את x קצת. השינוי הזה שווה בערך לערך הפונקציה כפול השינוי באורך. אם מחלקים במספר הקטן הזה וממשיכים עד שהוא מתאפס, מקבלים את הנגזרת.

אם f רציפה כל הקטע, אז תמיד קיימת לה פונקציה קדומה. כל שתי פונקציות קדומות שונות זו מזו בקבוע בלבד.

יש משפטים דומים בממדים גדולים, כמו משפט גרין, משפט גאוס ומשפט סטוקס.