השערת ברץ' וסווינרטון-דייר

השערת ברץ' וסווינרטון-דייר היא השערה מרכזית באריתמטיקה של עקומים אליפטיים. היא נוסחה ב-1963 על ידי בראיין ברץ' ופיטר סווינרטון-דייר. ההשערה נחשבת לאחת מ"שבע בעיות המילניום" של מכון קליי.

עיקר הרעיון הוא ללמוד עקום על פי ההתנהגות של ההיטל שלו. היטל משמעותו: לקחת את המשוואה ולבדוק אותה עם מספרים מודולו p. שדה סופי הוא מערכת מספרים מוגבלת שבה מבצעים חיבור וכפל. עבור כל מספר ראשוני p מתקבל אוסף נקודות מעל אותו שדה סופי. חסם הסה (Hasse) קובע שמספר הנקודות מעל כל שדה כזה קרוב ל־p+1, כלומר אינו יכול להיות רחוק מדי. בדרך כלל מגדירים מספר a_p כך ש־N_p=p+1-a_p, ו־|a_p| קטן מ־2 שורש p.

לעקום אפשר לצרף פונקציית L, שהיא אנלוג לפונקציית הזטה של רימן. היא נוצרת כמכפלה על כל המספרים הראשוניים, כאשר בכל מקטע מופיע המידע על מספר הנקודות מעל שדה סופי. המכפלה מתכנסת באזור מסוים של המספרים המרוכבים, אך מה שמעניין במיוחד הוא ההתנהגות של פונקציית L בנקודה s=1. ההשערה של ברץ' וסווינרטון-דייר מחלקת את עצמה לשלושה חלקים; החלק הראשון טוען שניתן להמשיך אנליטית את פונקציית L עד s=1 לכל עקום.

חלק זה נובע מהשערת טניאמה-שימורה (מודולריות): כל עקום אליפטי מעל הרציונליים הוא מודולרי. אנדרו ויילס הוכיח את המקרה החשוב ב-1995, וההוכחה הושלמה ב-1999. בכך הושלם החלק הראשון של ההשערה.

משפט מורדל-וייל קובע שהנקודות הרציונליות על עקום יוצרות חבורה אבלית שנוצרת סופית. המשמעות היא שיש מרכיב חופשי מהצורה Z^r. את r קוראים דרגה (rank). כאשר r=0 יש רק מספר סופי של נקודות רציונליות. כאשר r>0 יש אינסוף נקודות.

הרעיון המרכזי של ההשערה הוא שקיים קשר בין הדרגה r להתנהגות של פונקציית L בנקודה s=1. החלק השני של ההשערה טוען שסדר האפס של L ב־s=1 (כמה אפסים יש בנקודה הזו) שווה בדיוק ל־r. החלק השלישי מקשר תכונות נוספות של העקום להתנהגות המדויקת של L בנקודה זו. שני החלקים האחרונים הוכחו במקרים חשובים, אך ההוכחה הכללית נותרה פתוחה.

השערת ברץ' וסווינרטון-דייר היא רעיון גדול במתמטיקה. היא נכתבה ב-1963 על ידי ברץ' וסווינרטון-דייר. זהו אתגר חשוב שהמכון קליי סימן כ"מילניום".

עקום אליפטי הוא משוואה מיוחדת שיוצרת עקומה. נקודות עם מספרים רציונליים הן הפתרונות שהמתמטיקאים בוחנים. ההיטל אומר שבודקים את העקום עם קבוצת מספרים קטנה. חוק חשוב, חסם הסה, אומר שמספר הנקודות על ההיטל קרוב למה שציפו.

לכל עקום יש פונקציה מיוחדת שנקראת פונקציית L. היא אוספת מידע על מספר הנקודות בכל הגרסאות הקטנות של העקום. מה שמעניין הוא איך הפונקציה מתנהגת בנקודה s=1. חלק מההשערה אומר שאפשר "להמשיך" את הפונקציה עד נקודה זו, כלומר להבין אותה שם. זאת הוכחה חלקית התקבלה בזכות תגלית על מודולריות. ויילס הוכיח צעד חשוב ב-1995, והמשפט הושלם ב-1999.

משפט חשוב אומר שהנקודות הרציונליות מסתדרות כחבורה שנוצרת על ידי מספר סופי של נקודות בסיס. המספר הזה נקרא דרגה. אם הדרגה היא אפס, יש רק מעט נקודות. אם הדרגה חיובית, יש הרבה נקודות. ההשערה קושרת בין הדרגה הזו לבין מספר הפעמים שהפונקציה L מתאפסה בנקודה s=1. החלקים האחרים של ההשערה מדברים על קשרים מדויקים יותר. עדיין לא הוכיחו את כל המקרים.