התפלגות ברנולי

בסטטיסטיקה ובהסתברות, התפלגות ברנולי היא התפלגות בדידה (מקבלת ערכים ספציפיים בלבד) של משתנה מקרי X שמקבל רק את הערכים 1 או 0. ההסתברות לקבל 1 היא p, ואת 0 היא q = 1-p. זה מתאים למערכת עם שני מצבים ברורים, כמו הצלחה או כישלון.

לדוגמה, בקובייה הוגנת הסיכוי ליפול על 6 הוא p = 1/6. אם נסמן 6 כהצלחה, המשתנה שמייצג זאת מתפלג ברנולי בפרמטר p = 1/6.

את העובדה שמדובר בהתפלגות ברנולי מסמנים X ~ b(p) או X ~ Bernoulli(p). פונקציית ההסתברות מקבלת שתי ערכים: f(1)=p ו-f(0)=1-p. באופן שקול אפשר לכתוב f(k;p)=p^k(1-p)^{1-k} עבור k שווה 0 או 1. זה מדמה את הצורה של ההתפלגות הבינומית במצב n=1; סכום של n משתנים ברנולי בלתי תלויים עם אותה p הוא התפלגות בינומית B(n,p).

התוחלת (הממוצע) של X שווה ל-p. השונות, שהיא מדד לפיזור התוצאות, שווה ל-p(1-p). מאחר שהערכים האפשריים הם רק 0 ו-1, מתקיים X^n = X לכל n, ולכן כל המומנטים של המשתנה שווים ל-p.

הצידוד (skewness), מדד סימטריה של ההתפלגות, שווה (1-2p)/sqrt(pq). הוא גדל מאוד כאשר p קרוב ל-0 או ל-1, כי המכנה קטן מאוד.

התפלגות ברנולי היא מצב שבו יש רק שני תוצאות. קוראים להן הצלחה וכישלון. הצלחה קורית בהסתברות p. כישלון קורא בהסתברות q, שזה 1 פחות p.

אם נסמן הצלחה ב־1 וכישלון ב־0, המשתנה לוקח רק את הערכים האלה. בדוגמה של קובייה הוגנת, הסיכוי לקבל 6 הוא p = 1 מתוך 6. אם 6 היא הצלחה, אז זהו משתנה ברנולי עם p = 1/6.

הממוצע של משתנה כזה שווה ל-p. זה אומר שאם נחזור על הניסוי הרבה פעמים, יחס ההצלחות יתקרב ל-p. השונות שלו היא המכפלה של p ב־(1 פחות p). זה אומר כמה התוצאות מתפזרות סביב הממוצע.

אם נחבר יחד n ניסויים ברנולי בלתי תלויים עם אותה הסתברות p, נקבל התפלגות בינומית. זה כלי חשוב בטבע ובמדעים לבחינת ניסויים עם שתי תוצאות בלבד.