וקטור מצב (קוונטים)

וקטור מצב הוא וקטור במרחב הילברט שמייצג את המצב של מערכת קוונטית. מרחב הילברט הוא מרחב וקטורי עם מכפלה פנימית. סימון דיראק נפוץ: |ψ\rangle. פונקציית הגל היא דרך אחרת לתאר מצב, ויש חפיפה משמעותית בין המונחים.

חישובים בווקטור מצב נשענים על אלגברה ליניארית. המרחב הדו־ממדי או האינסופי שבו נמצאים הווקטורים מקבל משמעות פיזיקלית. לכל וקטור קיים וקטור דואלי, שמסומן כ־\langleψ|, והכפל בין bra ובetween ket הוא המכפלה הפנימית.

כל גודל שנמדד במערכת מיוצג על ידי אופרטור הרמיטי. אופרטור הרמיטי הוא מטריצה שמייצגת תצפית פיזית ושיש לה תכונות מסוימות (ערכים עצמיים ממשיים). משוואת שרדינגר נותנת את התפתחות מצב המערכת בזמן; ההמילטוניאן הוא אופרטור הרמיטי שקשור לאנרגיה. אופרטור אוניטרי מייצג התפתחות בזמן רציפה ושומר על הנורמה.

סופרפוזיציה פירושה שווקטור מצב הוא צירוף ליניארי של וקטורים אחרים. לנורמליזציה חשיבות: וקטור שמייצג מצב פיזיקלי חייב להיות מנורמל כך שהאורך שלו שווה אחד.

אם המערכת ב־|ψ\rangle, ההסתברות למצוא אותה במצב |χ\rangle היא |\langleψ|χ\rangle|^2. ערך התצפית (הממוצע) של אופרטור M במצב |ψ\rangle הוא \langleψ|M|ψ\rangle.

נחשוב בחלקיק שיכול להיות באחת משתי קופסאות. נסמן את המצבים הבסיסיים כ־|1\rangle ו־|2\rangle, שהם מנורמלים ואורתונורמליים. מצב כללי הוא סופרפוזיציה |
ψ\rangle = α|1\rangle + β|2\rangle, כש־α ו־β הם מספרים מרוכבים. מנורמליות מקבלים |α|^2+|β|^2=1. ההסתברות למצוא את החלקיק בקופסה 1 היא |α|^2, ובקופסה 2 היא |β|^2.

ניתן לייצג וקטורים אלה כווקטורי עמודה ולכתוב את הbras כווקטורי שורה, הצמוד המרוכב של הרכיבים מופיע ב־\langleψ|. אם קיימים ערכי אנרגיה שונים E1 ו־E2, המטריצה המתאימה היא מטריצה אלכסונית עם E1 ו־E2, והערך הצפוי של האנרגיה הוא E1|α|^2+E2|β|^2.

כאשר החלקיק נע על ציר x, פונקציית הגל ψ(x) נותנת מספר מרוכב לכל נקודה. זו גרסה של וקטור בממד אינסופי. נירמול מתבטא באינטגרל ∫|ψ(x)|^2 dx = 1, שהוא המקבילה לסכום הריבועים במקרה הסופי.

וקטור מצב הוא דרך לתאר מצב במכניקה קוונטית. וקטור הוא רשימה של מספרים. כותבים אותו לפעמים |ψ\rangle. פונקציית גל מתארת גם היא מצב.

החישובים מבוססים על רעיונות של וקטורים ומטריצות. מרחב הילברט, מקום מתמטי שבו שמים את הווקטורים. יש גם "ברים" ו"קטים": ה"בר" הוא וריאציה של הווקטור שעוזרת לחשב מדידות.

אופרטור הרמיטי (מטריצה מיוחדת) מייצג מדידה פיזית. משוואת שרדינגר מסבירה איך המצב משתנה בזמן. סופרפוזיציה אומרת שמערכת יכולה להיות "גם וגם" במקביל. נורמליזציה אומרת שסכום ההסתברויות שווה אחד.

כשנמדוד, ההסתברות לקבל תוצאה קשורה ב"דמיון" בין שני מצבים. אם שני מצבים דומים, ההסתברות גדולה.

דמיינו חלקיק בשתי קופסאות. אפשר להיות בקופסה 1 או בקופסה 2. אפשר גם להיות בשילוב של שתיהן. מקדמים שנקראים אלפא ובטא קובעים את ההסתברויות. סכום ריבועי הגודל שלהם שווה אחד. זה אומר שסכום כל ההסתברויות שווה אחד.

אם החלקיק נע לאורך ציר, פונקציית הגל נותנת מספר לכל נקודת x. זו רשימה אינסופית של מספרים. כדי לוודא שמדובר במצב פיזיקלי, עושים "נירמול", סכום ריבועי הערכים צריך להיות אחד.