הופכי כפלי מודולרי
הופכי כפל מודולרי הוא מספר שמכפיל מספר אחר ונותן שארית 1 אחרי חלוקה ב־n. מודולו אומר שאנו מתמקדים בשארית אחרי החלוקה. לדוגמה, במודולו 9 ההופכי של 2 הוא 5. כי 2 כפול 5 שווה 10, ואחרי חלוקה ב־9 נשארת שארית 1. לכן לחלק 3 ב־2 במודולו 9 משמעותו להכפיל 3 ב־5. אם נכפיל את התוצאה ב־2 שוב, מקבלים חזרה את 3....
סריג הופכי
סריג הופכי הוא דרך שונה לתאר סריג של נקודות בחומר. סריג בראבה הוא סדר חזרתי של נקודות במרחב. בסריג ההפכי בודקים אילו גלים מתאימים לסריג הזה. עקרון פשוט: וקטור בסריג ההפכי מתאים לגל שמקיים את המחזוריות של הסריג. וקטור הוא חץ שמראה כיוון ואורך. אם יש שלושה וקטורים שמייצגים את הסריג, אפשר לבנות מהם...
מספר הופכי
מספר הופכי הוא מספר שמכפלתו במספר אחר נותנת 1. לדוגמה: ההופכי של 3 הוא 1 חלקי 3. וההופכי של 1 חלקי 3 הוא 3. לא לכל מספר יש הופכי. לאפס אין הופכי, כי 0 כפול כל מספר שווה 0. גם בחשבון מודולרי יש הופכי לפעמים. חשבון מודולרי זה חישוב של שאריות אחרי חלוקה. לדוגמה, במודולו 7 ההופכי של 3 הוא 5. זאת כי 3 ...
חבורת אוילר
חבורת אוילר היא קבוצת מספרים שלא מתחלקים ב-n. עושים בהם כפל ושומרים רק את השארית אחרי חילוק ב-n. את הקבוצה כותבים U_n. אם שני מספרים לא מתחלקים ב-n, גם המכפלה שלהם לא תתחלק ב-n. לכן הקבוצה סגורה לכפל. לכל מספר כזה יש גם מספר אחר שמכפיל אותו ומקבל 1 בשארית. המספר הזה נקרא הופכי. מספר האיברים בקבוצה...
קבוע ארדש-בורוויין
זוהי תוצאה שמקבלים מחיבור של מספרים מיוחדים שנקראים מספרי מרסן. ההופכי של מספר הוא 1 חלקי אותו מספר. מספר מרסן מקבלים מ-2 בחזקת n ואז מחסירים 1. אם מחברים את ההופכיים של המספרים האלה מקבלים מספר קרוב ל-1.6067. המתמטיקאי פאול ארדש הראה ב-1948 שאי אפשר לכתוב אותו כשבר פשוט....
פונקציה הפיכה
פונקציה הפיכה היא פונקציה שיש לה פונקציה שמחזירה את הכניסה. כלומר, מבצעים פעולה ואז מבצעים את הפעולה ההפוכה. חוזר בדיוק אותו מספר. כדי שתהיה הופכית צריך שתי תכונות. ראשית, כל כניסה שונה נותנת תוצאה שונה. זו תכונה שנקראת חד-חד-ערכיות. שנית, כל תוצאה חייבת להגיע ממשהו בתחום. זו תכונה שנקראת על. אם לא...
ממוצע הרמוני
ממוצע הרמוני הוא דרך לחבר מספרים שקשורה לקצבים. כיצד מחשבים אותו? קודם לוקחים את ההופכים של המספרים. ההופכי של מספר הוא 1 חלקי אותו מספר. אחר כך עושים ממוצע של ההופכים. בסוף לוקחים את ההופכי של התוצאה. יש גם ממוצע חשבוני שמכפיל ומחלק בדרך הרגילה. יש ממוצע הנדסי שמחשבים על ידי שורש. כשהמספרים שווים...
חשבון מודולרי
חשבון מודולרי עובד עם שאריות. שארית היא מה שמתקבל אחרי חילוק. לדוגמה, בחלוקה ב-7, 11 נותן שארית 4, לכן 5+6 בחשבון זה שווה 4. אם ההפרש בין שני מספרים מתחלק ב-n, הם נחשבים שקולים מודולו n. אפשר לייצג כל קבוצה כ־0 עד n-1. חיבור וכפל במודולו נשמרים בין שקולים. זה אומר שניתן לחשב חיבור וכפל כמו תמיד, ו...
מספר נגדי
המספר הנגדי של מספר r הוא המספר שמוסיפים אותו ל‑r ומקבלים 0. זה נרשם -r. כל מספר שלם, ממשי או מרוכב יש לו נגדי. למשל, הנגדי של 7 הוא -7. הנגדי של -0.5 הוא 0.5. עוד דרך למצוא נגדי: כופלים את המספר במינוס אחד. זה נותן את המספר עם הסימן ההפוך. יש גם "מספר הופכי". מספר הופכי הוא מספר שמכפלתו במספר המ...
הרכבת פונקציות
הרכבה של פונקציות פירושה להפעיל פונקציה אחרי אחרת. מפעילים קודם את הראשונה, מקבלים תוצאה, ואז מפעילים עליה את השנייה. אם אפשר להרכיב שלוש פונקציות יחד, לא משנה באיזה סוגריים שמים. זאת אומרת התוצאה לא משתנה אם מקבצים את ההרכבות אחרת. יש פונקציות שאפשר להחזיר מהן את המספר המקורי. אלו נקראות הפיכות. ...
חץ הזמן
חץ הזמן אומר שלמרות שחוקי הפיזיקה נראים דומים קדימה ואחורה, אנחנו חווים את הזמן בצד אחד. אנטרופיה, מידה לכמה משהו מבולגן, גדלה בדרך כלל עם הזמן. דוגמה: צלחת נשברת והדברים נעשים מבולגנים יותר. זהו הכיוון שבו הבלגן במערכת גדל. תנועה מסודרת הופכת לחום מפוזר, שזה מבולגן יותר. צנצנת עם צבע ומים מר...
חבורה (מבנה אלגברי)
חבורה היא קבוצה עם פעולה שמחברת שני איברים לאחד. הפעולה היא קיבוצית. קיבוצית פירושו שסדר הקיבוצים לא משנה. יש איבר מיוחד שנקרא יחידה. יחידה לא משנה איבר כשמכפילים. לכל איבר יש הופכי. הופכי הוא איבר שמוחק את ההשפעה. אם הפעולה תמיד מחליפה בין איברים, קוראים לחבורה חילופית או קומוטטיבית. תמורות הן ס...
פלימפטון 322
פלימפטון 322 הוא לוח חרס עתיק מבבל. הוא נכתב בכתב יתדות לפני כאלפיים שנים. הלוח נמצא בלארסה שבעיראק ומאוחר יותר הגיע לאוניברסיטת קולומביה. הבבלים השתמשו בבסיס 60. זה אומר שהמספרים שלהם עבדו קצת אחרת מהמספרים שלנו. הלוח קטן וגודליו כ-13 על 9 ס"מ. יש עליו ארבע עמודות ו-15 שורות של מספרים. שתי העמודו...
מבנה אלגברי
מבנה אלגברי הוא אוסף של איברים עם חוק או כמה חוקים. אוסף = קבוצה של דברים. חוק = כלל שחיבור או פעולה עושים. החוקים נקראים אקסיומות. אלה כללים שחייבים להתקיים. למדענים זה שימושי כי אפשר לקחת מספרים, כמו שלמים או ממשיים, ולבדוק רק את התכונות החשובות. לפעמים קוראים למבנה בשם של הקבוצה, כמו לקרוא לחבורה...
נוסחת ההיפוך של מביוס
נוסחת מביוס עוזרת להחזיר פונקציה אחרת שמחוברת אליה על ידי סכומים על מחלקים. מספרים טבעיים הם 1,2,3,... . כותבים a|b כדי לומר ש-a מחלק את b. פונקציית מביוס μ: - μ(1)=1. - μ(n)=0 אם יש מספר ראשוני p כך ש-p^2 מחלק את n. (p^2 זה p כפול p.) - אם n הוא מכפלה של k מספרים ראשוניים שונים, אז μ נותנת 1 או −...
יחס (תורת הקבוצות)
יחס בינארי הוא קבוצה של זוגות. זוג סדור זה שתי פריטים בסדר קבוע. הפריט הראשון מגיע מקבוצה A, והשני מקבוצה B. אם הזוג (a,b) שייך ל‑R אומרים "a ביחס עם b". דוגמאות פשוטות הן שווה, קטן מ‑, ופונקציה. רפלקסיבי: כל איבר קשור לעצמו. למשל השווה. אי‑רפלקסיבי: אף איבר לא קשור לעצמו. "קטן מ" הוא כזה. סימ...