שדה המספרים המרוכבים מורכב ממספרים שניתן לכתוב בצורת a+bi, כאשר a ו-b הם מספרים ממשיים ו-i היא היחידה המדומה. ("יחידה מדומה" פירושה איבר שמקיים i כפול i שווה ל-שליל אחד.) אפשר להתייחס לכל מספר מרוכב כנקודה במישור בעל שתי קורדינטות: החלק הממשי והחלק המדומה.
שדות ומה משמעותם: שדה הוא מבנה שבו מוגדרים חיבור וכפל, כמו במספרים הרגילים. שדה המספרים המרוכבים מסומן ב-\mathbb{C}. הוא מכיל את המספרים הממשיים וניתן לראות אותו כהרחבה של \\mathbb{R} בממד שני.
יצירת הרעיון מיוחסת לתחילת המאה ה-16, כשהמתמטיקאי ג'ירולמו קרדאנו השתמש במספרים כאלה לפתור משוואות ממעלה שלישית. רפאל בומבלי נתן להם הגדרה מפורשת ב-1572. בהמשך דקארט כינה אותם "מספרים מדומים", והם התקבלו באופן מלא רק אחרי עבודות חשובות של אוילר וגאוס.
אפשר לבנות את המספרים המרוכבים כזוגות של ממשיים (x,y) עם חיבור רגיל וכפל שמוגדר כך: מכפלת (x,y) ב-(a,b) היא (xa-yb, xb+ya). האיבר (1,0) הוא היחידה, והאיבר (0,1) הוא i. הזוגות מהצורה (x,0) מייצגים בדיוק את הממשיים וכך \\mathbb{R} מושם בתוך \\mathbb{C}.
לכל z יש פירוק יחיד כ-x+iy. אפשר להגדיר את החלק הממשי Re(z) ואת החלק המדומה Im(z). הערך המוחלט |z| הוא שורש ריבועי של x^2+y^2, והוא מדד המרחק של הנקודה מראשית הצירים. יש גם פעולה שנקראת הצמוד המרוכב: ל-(x+iy) מתאים x-iy. הצמוד שומר על חיבור וכפל ועוזר לחלק מספרים מרוכבים.
שדה המספרים המרוכבים סגור אלגברית. משמעות הדבר היא שכל פולינום עם מקדמים מרוכבים יש לו שורש מרוכב. זו נקודה מרכזית במתמטיקה, הידועה כמשפט היסודי של האלגברה.
ניתן לתאר כל מספר מרוכב גם באמצעות מרחק מהראשית (r) וזווית (\\theta). זו ההצגה הקוטבית: z = r(
cos\\theta + i sin\\theta). הזווית נקראת ארגומנט. לארגומנט יש וריאציות שמוסיפות כפולות של 2\\pi, ולכן נוח לבחור זווית בתחום (-\\pi,\\pi].
המספרים המרוכבים הופיעו לפני כמה מאות שנים. קרדאנו השתמש בהם כדי לפתור בעיות. בתחילה אנשים קראו להם "מדומים".
מספר מרוכב הוא כמו זוג של שני מספרים רגילים. אחד מהם נקרא החלק הממשי. השני נקרא החלק המדומה. יש גם מספר מיוחד בשם i. כשמכפילים i בעצמו, מקבלים את המספר שליל אחד.
כל מספר מרוכב אפשר לראות כנקודה על מישור. המרחק מהמרכז הוא הערך המוחלט. אפשר גם לקחת את ה"הפוך" שלו דרך צעד שנקרא צמוד, שמחליף את הסימן של החלק המדומה.
ניתן לתאר כל מספר מרוכב בעזרת מרחק וזווית. הזווית נקראת ארגומנט. לפעמים בוחרים זווית בין -pi ל-pi כדי להמנע מהבלבול.
תגובות גולשים