טבלת אמת

טבלת אמת היא טבלה שמציגה את כל הצירופים האפשריים של ערכי אמת (אמת או שקר) של הפסוקים המרכיבים ביטוי לוגי, ומציגה את ערכו של הביטוי המורכב בכל צירוף.

טבלאות אמת משמשות בלוגיקה בוליאנית ובתחשיב הפסוקים. קשר לוגי נתפס כ"פונקציית-אמת", חוק שמקבל ערכי אמת של הפסוקים המחוברים ומחזיר ערך אמת אחד. הפעולות הלוגיות הסטנדרטיות הן שלילה, וקונקציה ("וגם"), דיסקונקציה ("או"), אם-אז (ההתניה) ו"אם ורק אם" (התניה כפולה).

טבלאות אמת הוזכרו בעבודות של גוטלוב פרגה וצ'ארלס פרס מהשנות ה-80 של המאה ה-19. בצורתן הנוכחית הופיעו ב-1922 בעבודות של אמיל פוסט ולודוויג ויטגנשטיין.


במסגרת הסמנטיקה של תחשיב הפסוקים, כל פסוק יסודי יכול להיות אמת או שקר. בכל טבלת אמת, כל שורה מייצגת "פירוש" (הצבה), קיבוץ ערכי אמת לפסוקים היסודיים. בטורים הימניים מציגים את כל הצירופים האפשריים של הערכים, ובטורים השמאליים מציגים את ערך הביטוי המורכב לכל צירוף.

פסוק שמקבל אמת בכל פירוש נקרא טאוטולוגיה, כלומר תמיד אמיתי בגלל המבנה הלוגי בלבד. פסוק שמקבל שקר בכל פירוש נקרא סתירה. פסוק שלא תמיד אמיתי ולא תמיד שקרי הוא קונטינגנטי. קבוצה של פסוקים נקראת עקבית אם יש פירוש שבו כולם אמיתיים.


טבלאות אמת מאפשרות לבדוק אם טיעון תקף. בונים טבלה שבה מופיעים כל הצירופים של ערכי אמת עבור ההנחות. אם קיימת שורה שבה כל ההנחות אמתיות אך המסקנה שקרית, זוהי דוגמה נגדית, והטיעון אינו תקף. אם אין שורה כזו, הטיעון תקף.

לדוגמה: נניח את הפסוקים האטומיים הבאים: P: השמש זורחת; Q: האגם קפוא; R: הברווזים עפים. נבדוק את הטיעון עם ההנחות P ∧ (Q → R) ו־P → ¬Q, והמסקנה ¬R. בבדיקה בטבלת אמת נמצא צירוף שבו שתי ההנחות אמתיות והמסקנה שקרית. זו דוגמה נגדית, ולכן הטיעון אינו תקף.


בנושא האלגברה הבוליאנית מייצגים ערכי אמת לעתים קרובות ב־1 ו־0. טבלאות אמת עוזרות לחשב תוצאות של ביטויים בוליאניים ולבדוק פעולות מורכבות של AND, OR ו־NOT.

טבלת אמת היא טבלה שמראה מה קורה למשפטים לוגיים כשהם אמיתים או שקריים. אמת פירושו שמשהו נכון. שקר פירושו שמשהו לא נכון.

קשרים לוגיים הם כללים שמקשרים משפטים. שלילה אומרת להפוך אמת לשקר ושקר לאמת. "וגם" אומר ששני המשפטים צריכים להיות אמת. "או" אומר שאחד מהם מספיק.


כל משפט בסיסי יכול להיות רק אמת או שקר. כל שורה בטבלה היא דרך לתת ערכים למשפטים האלה. אם משפט תמיד אמיתי בכל השורות, קוראים לו טאוטולוגיה. אם תמיד שקרי קוראים לו סתירה. אם לפעמים אמת ולפעמים שקרי קוראים לו קונטינגנטי.


בטבלה בודקים האם יש מצב שבו כל ההנחות אמיתיות והמסקנה שקרית. אם כן, הטיעון לא תקף.

דוגמה פשוטה: קחו שלושה משפטים: P: השמש זורחת, Q: האגם קפוא, R: הברווזים עפים. יש טיעון שמתחיל מהנחות ואז מסיק שלא עפים הברווזים. בטבלת אמת נמצאה שורה שבה ההנחות היו אמת והמסקנה שקרית. לכן הטיעון לא תקף.


בתחום שבמשך מחשבים משתמשים בו, ערכים מוצגים כ־1 ו־0. טבלאות אמת עוזרות לחשב מה קורה בפעולות כמו AND, OR ו־NOT.