הוכחה בדרך השלילה
הוכחה בדרך השלילה היא דרך להראות שטענה נכונה על ידי הוכחת ההפך שגוי. כלומר, מניחים שהטענה לא נכונה. אם זה גורם לסתירה, הטענה המקורית נחשבת נכונה. שמה הלטיני הוא Reductio ad absurdum. זה אומר: להראות שהנחה מובילה למצב מצחיק או לא הגיוני. במתמטיקה משתמשים בשיטה הזאת הרבה. במקום לבנות הוכחה ישירה, מנ...
שלילת התארים
שלילת התארים, שנקראת גם דרך השלילה, היא דרך לחשוב על האל. במקום לומר מה הוא, מגלים מה הוא לא. זה כי קשה לתאר בקלות משהו גדול ושונה מהעולם. הדרך אומרת: האל קיים, אבל המילים שלנו לא מתאימות לתאר אותו. לכן עדיף לומר מה לא נכון להגיד עליו. פילוסופים כמו אריסטו ופלוטינוס חשבו שגם הם שאין לחלק את האל לת...
עקרון השלישי הנמנע
עקרון השלישי הנמנע אומר: לכל משפט יש רק שתי אפשרויות. או שהוא נכון, או שהוא לא נכון. "לא נכון" פירושו לומר שהמשפט שקר. דוגמה: או שיורד גשם, או שלא יורד גשם. אי אפשר ששתיהן יהיו נכונות. פארמנידס, פילוסוף עתיק, אמר רעיון דומה על מה שקורה בעולם. בעזרת העיקרון אפשר לעשות הוכחה בדרך השלילה. זה עובד ...
תחשיב הפסוקים
תחשיב פסוקים הוא דרך רשמית לבדוק טענות אמיתיות או שקריות. המערכת מסתכלת רק על "אמת" ו"שקר", לא על התוכן. אם אומרים: "אם חרק הוא נמלה אז הוא חי בתל" ו"החרק הוא נמלה", אז המסקנה היא שהוא חי בתל. זהו סוג של חשיבה לוגית פשוטה. משנים משפטים לאותיות קבועות. כל אות מייצגת טענה אחת. קשרים חשובים: - שלילה...
הנחה (לוגיקה)
הנחה היא דבר שמקבלים כנכון כדי לבנות טיעון. לפעמים ההנחה לא באמת נכונה. אם ההיסק תקף, המסקנה יוצאת מההנחות בצורה נכונה. היסק מבוסס הוא היסק שבו גם ההנחות אמיתיות. אבל היסק יכול להיות תקף גם אם ההנחות שגויות. כשיש סתירה בין ההנחות, ההיסק תקף. זה משתמשים בו בהוכחות בדרך השלילה. דוגמה: אומרים שיש מספ...
טבלת אמת
טבלת אמת היא טבלה שמראה מה קורה למשפטים לוגיים כשהם אמיתים או שקריים. אמת פירושו שמשהו נכון. שקר פירושו שמשהו לא נכון. קשרים לוגיים הם כללים שמקשרים משפטים. שלילה אומרת להפוך אמת לשקר ושקר לאמת. "וגם" אומר ששני המשפטים צריכים להיות אמת. "או" אומר שאחד מהם מספיק. כל משפט בסיסי יכול להיות רק אמת או...
כללי דה מורגן
כללי דה מורגן אומרים איך להעביר "לא" במשפטים עם "וגם" ו"או". "לא (A וגם B)" שווה ל"(לא A) או (לא B)". "לא (A או B)" שווה ל"(לא A) וגם (לא B)". זה אומר שאם לא נכון ששני דברים יחד נכונים, אז לפחות אחד מהם לא נכון. למשל: "לא (היום יום ראשון וגם יורד גשם)" שווה ל"היום לא יום ראשון או שלא יורד גשם". ...
סתירה (לוגיקה)
סתירה היא משפט שאי אפשר שיהיה נכון אף פעם. היא בנויה משני חלקים שסותרים זה את זה. "סותרים" אומרים שהם הפוכים ולא יכולים להיות אמיתיים יחד. דוגמה פשוטה: להגיד גם "אני בירושלים" וגם "אני לא בירושלים". משתמשים בסתירה כדי להראות שטענה לא נכונה. אם הנחה מובילה לסתירה, אז היא שגויה. ההיפך של סתירה נקר...
משפט קזוראטי-ויירשטראס
משפט קזוראטי-ויירשטראס הוא רעיון במתמטיקה של המספרים המרוכבים. השם מגיע משני מתמטיקאים חשובים, קזוראטי וויירשטראס. ברוסיה קוראים לו גם על שם סוחוצקי. קיימת פונקציה מיוחדת f של מספרים מורכבים. היא מתנהגת טוב בכל מקום חוץ מנקודה אחת שנקראת סינגולריות עיקרית. המשפט אומר: אם מתקרבים לנקודה הזאת, התמונו...
לא (לוגיקה)
'לא' הופך משפט. אם משפט היה אמת, 'לא' עושה אותו שקר. ואם היה שקר, 'לא' עושה אותו אמת. אלגברה בוליאנית היא דרך לחשוב על אמת ושקר. שם קוראים לפעולה הזאת NOT או שלילה. אופרנד זה הערך שעליו פועלת הפעולה. טבלת אמת מראה את הקלט ואת התוצאה. אם הקלט הוא 1, התוצאה היא 0. אם הקלט הוא 0, התוצאה היא 1. 1 ז...
הפרכה
הפרכה אומרת שהראינו שטענה לא נכונה. במתמטיקה הפרכה היא הוכחה שהשלילה נכונה. מספיק למצוא דוגמה אחת שמפריכה. למשל, הטענה "כל הראשוניים אי-זוגיים" נפרכת על ידי 2. לפעמים צריך הוכחה מורכבת. כך מראים שיש אינסוף מספרים ראשוניים על ידי הנחה שמובילה לסתירה. במדע ניסויים תומכים ברעיונות, אבל הם לא מוכיחים ...