כדור (טופולוגיה)

במרחב מטרי, מרחב שבו יש פונקציית מרחק שמודדת מרחק בין נקודות, כדור הוא קבוצת כל הנקודות שמרחקן ממרכז נתון קטן מרדיוס קבוע.

כדור פתוח עם רדיוס r>0 ומרכז p מסומן B_r(p). הוא מוגדר כך: B_r(p) := { x | d(x,p) < r }, כאשר d היא פונקציית המרחק (מטריקה).

ב-R^n, המטריקה האוקלידית נותנת את המרחק הישר בין נקודות; זו הנוסחה הרגילה לחישוב המרחק.

כדורים פתוחים תמיד מכילים את המרכז p, כי המרחק של p מעצמו הוא אפס, והוא קטן מ-r כש-r>0. קבוצות של כדורים לפי המטריקה יוצרות בסיס לטופולוגיה המושרית על ידי d. כלומר, כל קבוצה פתוחה במרחב המטרי ניתנת לאחודה של כדורים פתוחים.

כדור סגור מוגדר בדומה אך עם אי-שוויון ≤, ולעיתים מסמנים אותו ב-̅B (הוספת קו עליון). אם r=1 קוראים לו כדור יחידה. הכדור הסגור של יחידה ב-R^n מסומן לעתים D^n (מילה דיסק מהמקרה הדו-ממדי).

קבוצה היא חסומה אם קיימת לה כדור שמכסה אותה. קבוצה היא חסומה כליל (כלומר טוטאלית-חסודה) אם לכל רדיוס אפשר לכסות אותה במספר סופי של כדורים מאותו רדיוס.

בסוף, ב"ספירה" (sphere) מתכוונים לנקודות שמרחקן מהמרכז שווה בדיוק ל-r.

במרחב metrי (מרחב שבו מודדים מרחק) כדור הוא כל הנקודות שמרחקן מהמרכז קטן מרדיוס נתון.

כדור פתוח עם רדיוס r ומרכז p מסומל B_r(p). זה אומר: כל נקודה שהמרחק שלה מ-p קטן מ-r שייכת לכדור. כאן d היא פונקציית המרחק, שהיא דרך למדוד מרחק בין נקודות.

במישור הרגיל, המרחק הוא אורך הקו הישר שמחבר בין שתי נקודות.

הכדור תמיד מכיל את המרכז, כי המרחק של המרכז מעצמו הוא 0.

כדור שבו r=1 נקרא כדור יחידה. הכדור הסגור משתמש בסימון עם קו מעל B, והוא כולל נקודות במרחק בדיוק עד r.

קבוצה חסומה אם אפשר לשים אותה בתוך כדור אחד. "ספירה" היא כל הנקודות שמרחקן מהמרכז שווה בדיוק ל-r.